Enunciado

Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 mi/h, e o outro para o oeste a 25 mi/h. A que taxa está crescendo a distância entre os carros duas horas depois?

Passo 1

Opa, bora lá! Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos diz que tem dois carrinhos que saem no mesmo momento e de um mesmo ponto, mas um segue pro sul e o outro pro oeste, cada um com a sua velocidade. Depois de nos falar isso, ele nos pede a variação da distância entre eles depois de duas horas da partida.

Vamos fazer um esqueminha pra entender o que tá acontecendo.

Queremos encontrar aqui a variação da distância entre eles, isso é:

d z d t

Sabemos que a distância entre eles é a hipotenusa de um triângulo, logo:

z 2 = x 2 + y 2

E podemos perceber que a velocidade do carro que vai para Oeste é a taxa de variação da coordenada x , isso é:

d x d t = 25 m i / h

E o mesmo pode-se dizer sobre o carro que vai para o Sul, só que esse é a variação da coordenada y .

d y d t = 60 m i / h

Para encontrar d z d t vamos derivar a expressão que vêm da regra de Pitágoras.

Viu, nem é tão difícil assim. Eaii, partiu??

Passo 2

Já vimos que é um triângulo retângulo, então nos resta aplicar Pitagoras.

z 2 = y 2 + x 2

E derivar ambos os lados com relação ao tempo.

2 z . d z d t = 2 y . d y d t + 2 x . d x d t

Podemos dividir ambos os lados por 2 , assim, teremos:

z . d z d t = y . d y d t + x . d x d t

Agora basta encontrarmos os valores de z , y   e   x . Sabemos que estamos no tempo t = 2 h , e nos foi dado as velocidades em x e em y , logo:

x = 25 ⋅ 2 = 50 m i

y = 60 ⋅ 2 = 120 m i

E para encontrar z , vamos usar a expressão de Pitágoras.

z 2 = x 2 + y 2

z 2 = 50 2 + 120 2

z 2 = 16900

z = ± 16900

E como z é uma distância positiva, temos:

z = 130   m i

Passo 3

Agora basta substituir tudo na expressão que encontramos quando derivamos:

z . d z d t = y . d y d t + x . d x d t

130 d z d t = 120 60 + 50 25

d z d t = 120   .   60 + 50   .   25 130 = 65   m i / h

Prontinho!!

Resposta

d z d t = 65   m i / h

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