Enunciado

Nos Exercícios de 33 a 40, ache uma equação da parábola com as propriedades dadas. Faça um esboço do gráfico.

36. Foco em ( - 3 4 ,   4 ) ; diretriz x = - 5 4

Passo 1

Pela equação da reta diretriz dada é possível ver que ela é paralela ao eixo y.

Com essa informação podemos tirar que a parábola está em deitada, então sua equação é algo do tipo:

y - h 2 = 4 p x - k

Olhando a localização do foco e a posição da reta diretriz, é possível ver que o foco está a direita da reta diretriz, assim a parábola não pode ter concavidade para esquerda, se não ela iria passar pela reta diretriz e o ponto dado como foco, não seria o foco da parábola , coisa que não faz sentido, logo ela tem concavidade voltada para direita.

Agora precisamos achar os valores de h, p e k para a situação que temos.

Passo 2

Primeiro vamos achar o p, para isso precisamos lembrar que a distância entre o foco e a reta diretriz é igual a 2p.

Como sabemos que a reta diretriz é x = - 5 4 para todo y, para achar o 2p basta fazer a diferença entre a coordenada x do foco e a reta diretriz, assim:

2 p = - 3 4 - - 5 4 ⇒ p = - 3 + 5 8 = 2 8 = 1 4

Passo 3

Achar h e k é fácil, eles representam as coordenadas do vértice.

O h representa a coordenada y do vértice e k a coordenada x. Para achar as coordenadas do vértice precisamos lembrar que a distância entre o vértice e o foco é igual a p. Como os dois estão na mesma reta em y, suas coordenadas y são as mesmas e a coordenada em x é dada por:

- 3 4 - 1 4 = - 4 4 = - 1

Assim: h = 4           e           k = - 1

Passo 4

Agora colocando tudo que encontramos na equação ela toma a seguinte forma:

y - h 2 = 4 p x - k

y - 4 2 = 4 ⋅ 1 4 x - ( - 1 )

y - 4 2 = x + 1

Passo 5

O gráfico que representa a equação da parábola é da seguinte maneira:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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