Enunciado

Se o poder de compra de um dólar decresce a uma taxa de 10% anualmente, compostos continuamente, quanto tempo irá levar para que o poder de compra seja de meio dólar?

Passo 1

O valor A ( t ) no tempo t de uma quantia inicial P que decresce a uma taxa composta continuamente pode ser representado por uma lei de decrescimento natural dada a seguir:

A t = P ⋅ e - i t

Sendo i a taxa de decrescimento e t os anos decorridos desde o início do decrescimento. Nossa função é então:

A t = P ⋅ e - 0,1 t

E queremos achar o valor de t para o qual A t = 0,5 P .

Passo 2

Podemos então calcular t da seguinte maneira:

A t = P ⋅ e - 0,1 t = 0,5 P ⇒ e - 0,1 t = 0,5

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e - 0,1 t = ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 2 - 1 ⇒ - 0,1 t = - ln ⁡ 2 ⇒ t = ln ⁡ 2 0,1 = 10 ln ⁡ 2 ≈ 6,93   a n o s

Resposta

t = 6,93 anos

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