Enunciado

Nos exercícios de 39 a 44, ache a área da região, tomando como medida da altura do i - é s i m o retângulo   f ( m i ) , onde m i é o ponto médio do i - é s i m o subintervalo. Sugestão: m i = 1 2 x i + x i - 1 .

40. A região do Exercício 21.

Passo 1

A região do exemplo 3 é:

O intervalo da região será [ 0,3 ] e a função é f ( x ) = x 2 . Sendo assim,

Δ x = 3 - 0 n = 3 n

m i = 1 2 x i + x i - 1

f m i = 1 2 x i + x i - 1 ⏟ m i 2 = 1 2 0 + 3 i n + 0 + 3 i - 1 n 2

f m i = 3 i + 3 i - 3 2 n 2 = 6 i - 3 2 4 n 2 = 36 i - 1 2 2 4 n 2 = 9 i - 1 2 2 n 2

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f m i Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 9 i - 1 2 2 n 2 3 n   = lim n → + ∞ ⁡ 27 n 3 ∑ i = 1 n i - 1 2 2

A = lim n → + ∞ ⁡ 27 n 3 ∑ i = 1 n i 2 - i + 1 2

A = lim n → + ∞ ⁡ 27 n 3 ∑ i = 1 n i 2   - ∑ i = 1 n i + 1 2 ∑ i = 1 n 1

Passo 2

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

A = lim n → + ∞ ⁡ 27 n 3 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6   - n ( n + 1 ) 2 + 1 2 n

A = lim n → + ∞ ⁡ 27 n n 1 + 1 n 2 + 1 n 6   – n n 2 1 + 1 n 2 + 1 2 n n 3

A = 27 1 + 0 2 + 0 6   – 0 1 + 0 2 + 0

A = 27 2 6   = 9

Logo, a área é 9   u . a .

Resposta

A = 9   u . a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use uma calculadora ou um computador para fazer uma tabela dos valores das somas L n e R n e de Riemann à esquerda e à direita para a integral ∫ 0 2 e - x 2 com n = 5 , 10 , 50 e 100. Entre quais dois
Se você tiver um SCA que possa calcular aproximações usando pontos médios e esboçar os retângulos correspondentes (use os comandos RiemannSum ou middlesum e middlebox no Maple), verifique a resposta d
Expresse a integral como um limite de somas. Não calcule o limite. 29 . ∫ 2 6 x 1 + x 5 d x
Expresse a integral como um limite de somas. Depois, calcule, usando um sistema de computação álgébrica para encontrar a soma e o limite. 31 . ∫ 0 π sen ⁡ 5 x d x
28. Demonstre que ∫ a b x 2 d x = b 3 - a 3 2 .