Enunciado

Nos exercícios de 39 a 46 , encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:

s = ∫ θ 0 θ 1 f ' θ 2 + f θ 2 d θ

Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado e o intervalo de integração necessário.

Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa uma lemniscata visto que ela tem a forma de:

r 2 = ± a 2 cos ⁡ 2 θ

Além disso, visto que a função cosseno é par c o s ⁡ ( 2 θ ) = cos ⁡ - 2 θ , ela é simétrica em relação ao eixo polar. Dessa forma é possível calcular metade do comprimento da curva de 0 a π / 4 , tal que o comprimento total será quatro vezes o resultado obtido.

Passo 2

Logo, o que deve ser determinado é:

d d θ r = d d θ 9 cos ⁡ 2 θ = - 3 s e n 2 θ cos ⁡ 2 θ

Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:

s = 4 ∫ 0 π / 4 - 3 s e n 2 θ cos ⁡ 2 θ 2 + 9 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

s = 4 ∫ 0 π / 4 9 s e n 2 2 θ cos ⁡ 2 θ + 9 cos ⁡ 2 θ d θ

Igualando os denominadores:

s = 4 ∫ 0 π / 4 9 s e n 2 2 θ + 9 c o s 2 2 θ cos ⁡ 2 θ d θ

Logo:

s = 4 ∫ 0 π / 4 9 s e n 2 2 θ + c o s 2 2 θ cos ⁡ 2 θ d θ

Lembrando que s e n 2 x + c o s 2 x = 1 :

s = 4 ∫ 0 π / 4 3 1 cos ⁡ 2 θ d θ

s = 12 ∫ 0 π / 4 1 cos ⁡ 2 θ d θ

Portanto:

s = 12 ∫ 0 π / 4 1 cos ⁡ 2 θ d θ

Resposta

12 ∫ 0 π / 4 1 cos ⁡ 2 θ d θ

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