Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

26. f x = 3   c o s e c   2 x

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

f x = 3   c o s e c   2 x

f ' x = 3   ( - 2 c o t g   2 x ⋅ c o s e c   2 x )

= - 6 ( c o t g   2 x ⋅ c o s e c   2 x )

⇒ f ' x = - 6 ( c o t g   2 x ⋅ c o s e c   2 x )

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

- 6 c o t g   2 x ⋅ c o s e c   2 x = 0

⇒ c o t g   2 x ⋅ c o s e c   2 x = 0

⇒ cos ⁡ 2 x s e n   2 x ⋅ 1 s e n   2 x = 0

⇒ cos ⁡ 2 x s e n 2   2 x = 0

A expressão acima só irá zerar quando cos ⁡ 2 x = 0 , para isso acontecer, temos que:

2 x = π 2

x = π 4

Ou ainda:

x = π 4 + 1 2 n π

Isso acontece pelo fato de cosseno ser uma função periódica.

Passo 4

Então achamos o valores de x onde ocorrem estremos relativos, que são x = π 4 + 1 2 n π . Agora vamos achar o extremo relativo, jogando o x que encontramos na nossa função.

f x = 3   c o s e c   2 x

f π 4 + 1 2 n π = 3   c o s e c   2 π 4 + 1 2 n π

= 3   c o s e c   π 2 + n π

= 3 ⋅ 1 s e n π 2 + n π

Agora temos que se n for ímpar:

s e n π 2 + n π = - 1

⇒ 3 ⋅ 1 s e n π 2 + n π = - 3

Se n é par:

s e n π 2 + n π = 1

⇒ 3 ⋅ 1 s e n π 2 + n π = 3

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = - 6 c o t g   2 x ⋅ c o s e c   2 x

= cos ⁡ 2 x s e n 2   2 x

Vemos que para:

3 π 4 + n π < x < π 4 + n π → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer nesse intervalo.

Para:

π 4 + n π < x < 3 π 4 + n π → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer nesse intervalo.

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é decrescente antes de 3 π 4 + n π e crescente depois do mesmo, logo f x = - 3 é ponto de mínimo e como a função é crescente antes de π 4 + n π e decrescente depois do mesmo, logo f x = 3 é ponto de máximo.

Vale mencionar que

3 π 4 + n π

fornece os mesmos valores que

π 4 + n π  

com n ímpar, então por isso os intervalos de x foram definidos em termos do primeiro.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f 3 π 4 + n π = - 3 e f π 4 + n π   = 3 são extremos relativos.
  2. Em x = π 4 + n π e x = 3 π 4 + n π ocorre extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em 3 π 4 + n π < x < π 4 + n π
  4. f ( x ) é decrescente em   π 4 + n π < x < 3 π 4 + n π
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