Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

39. f x = x 1 3 x + 4 - 2 3

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

f x = x 1 3 x + 4 - 2 3

f ' x = 1 3 x - 2 3 x + 4 - 2 3 + x 1 3 - 2 3 x + 4 - 5 3

= 1 3 x - 2 3 x + 4 - 2 3 - x 1 3 2 3 x + 4 - 5 3

= 1 3 x 2 3 x + 4 2 3 - 2 x 1 3 3 x + 4 5 3

= 3 x + 4 5 3 - 3 x 2 3 x + 4 2 3 ⋅ 2 x 1 3 9 x 2 3 x + 4 7 3

= 3 x + 4 5 3 - 6 x x + 4 2 3 9 x 2 3 x + 4 7 3

= 3 x + 4 2 3 x + 4 3 3 - 2 x 9 x 2 3 x + 4 7 3

= x + 4 - 2 x 3 x 2 3 x + 4 5 3

= 4 - x 3 x 2 3 x + 4 5 3

f ' x = 4 - x 3 x 2 3 x + 4 5 3

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

4 - x 3 x 2 3 x + 4 5 3 = 0

Para que a expressão acima seja igual a zero, temos que:

4 - x = 0

⇒ x = 4

Passo 4

Então achamos o valor de x que é ponto crítico de f , que é x = 4 . Agora vamos ver o valor de f para tal ponto, jogando o x que encontramos na nossa função.

f x = x 1 3 x + 4 - 2 3

f 4 = 4 1 3 4 + 4 - 2 3

= 4 1 3 8 - 2 3

= 4 1 3 8 2 3

= 1 4 4 3

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = 4 - x 3 x 2 3 x + 4 5 3

Vemos que para:

x < - 4 → f ' x < 0

- 4 < x < 4 → f ' x > 0

x > 4 → f ' x < 0

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é crescente antes de 4 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 1 4 4 3 é ponto máximo.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f 4 = 1 4 4 3   é extremo relativo.
  2. Em x = 4 ocorre extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em [ - 4 ,   4 ]
  4. f ( x ) é decrescente em ( - ∞ , - 4 ] , [ 4 ,   + ∞ )
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