Enunciado

Avalie a integral:

int_0^(pi) sen (6 x) cos (3 x) d x

Passo 1

Para essa integral, vamos ter que lembrar de uma identidade trigonométrica importante:

sen ( a ) cos ( b ) = (sen (a + b) + sen (a - b))/(2)

E então:

sen (6 x) cos (3 x) = (sen (6 x + 3 x) + sen (6 x - 3 x))/(2)

sen (6 x) cos (3 x) = (sen (9 x) + sen (3 x))/(2)

E então a integral indefinida é:

int sen (6 x) cos (3 x) d x = (1)/(2) int sen (9 x) d x + (1)/(2) int sen (3 x) d x

Passo 2

Agora vamos resolver essas duas integrais:

(1)/(2) int sen (9 x) d x = - (1)/(18) cos (9 x) + C

(1)/(2) int sen (3 x) d x = - (1)/(6) cos (3 x) + C

E então a integral é:

I = - (1)/(18) cos (9 x) - (1)/(6) cos (3 x) + C

Passo 3

Agora vamos avaliar isso quando x varia de x = 0 até x = pi :

I_x = 0 = - (1)/(18) cos (0) - (1)/(6) cos (0) = - (1)/(18) - (1)/(6) = - (4)/(18)

I_x = pi = - (1)/(18) cos (9 pi) - (1)/(6) cos (3 pi) = (1)/(18) + (1)/(6) = (4)/(18)

E então:

int_0^(pi) sen (6 x) cos (3 x) d x = (4)/(18) - (- (4)/(18)) = (8)/(18)

Resposta

A integral vale 8 // 18 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Os exercícios de 43 a 45 referem-se à Seção Suplementar 6.7.43. Uma tubulação horizontal cilíndrica tem um diâmetro interno de 4m e uma extremidade fechada por um registro circular que se ajusta à tub
Os exercícios de 43 a 45 referem-se à Seção Suplementar 6.7.44. Uma comporta num canal de irrigação tem a forma de um segmento de círculo com 40cm de raio. A parte superior da comporta é horizontal e
Os exercícios de 43 a 45 referem-se à Seção Suplementar 6.7.45. Um tanque de automóvel tem a forma de um cilindro circular reto com 8cm de raio, com um eixo horizontal. Ache a força total num extremo,
Calcule. ∫ arctg ⁡ e x e x d x
Calcule. ∫ arctg ⁡ x d x