Avalie a integral:

∫ 0 π sen ⁡ 6 x cos ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Para essa integral, vamos ter que lembrar de uma identidade trigonométrica importante:

sen ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = sen ⁡ a + b + sen ⁡ a - b 2

E então:

sen ⁡ 6 x cos ⁡ 3 x = sen ⁡ 6 x + 3 x + sen ⁡ 6 x - 3 x 2

sen ⁡ 6 x cos ⁡ 3 x = sen ⁡ 9 x + sen ⁡ 3 x 2

E então a integral indefinida é:

∫ sen ⁡ 6 x cos ⁡ 3 x d x = 1 2 ∫ sen ⁡ 9 x d x + 1 2 ∫ sen ⁡ 3 x   d x

Passo 2

Agora vamos resolver essas duas integrais:

1 2 ∫ sen ⁡ 9 x   d x = - 1 18 cos ⁡ 9 x + C

1 2 ∫ sen ⁡ 3 x   d x = - 1 6 cos ⁡ 3 x + C

E então a integral é:

I = - 1 18 cos ⁡ 9 x - 1 6 cos ⁡ 3 x + C

Passo 3

Agora vamos avaliar isso quando x varia de x = 0 até x = π :

I x = 0 = - 1 18 cos ⁡ 0 - 1 6 cos ⁡ 0 = - 1 18 - 1 6 = - 4 18

I x = π = - 1 18 cos ⁡ 9 π - 1 6 cos ⁡ 3 π = 1 18 + 1 6 = 4 18

E então:

∫ 0 π sen ⁡ 6 x cos ⁡ 3 x   d x = 4 18 - - 4 18 = 8 18

Resposta

A integral vale 8 / 18 .

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