∫ x 2 + x + 1 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ x 2 + x + 1 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

x 2 + x + 1 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = A x + B ( x 2 + 1 ) + C ( 2 x + 1 )

Isolando   x 2 + x + 1 , vamos achar

x 2 + x + 1 = ( A x + B ) 2 x + 1 + C x 2 + 1 = 2 A x 2 + A x + 2 B x + B + C x 2 + C

x 2 + x + 1 = 2 A + C x 2 + A + 2 B x + B + C

Que nos dá o seguinte sisteminha

2 A + C = 1 A + 2 B = 1 B + C = 1

Na terceira equação C = 1 - B . Substituindo isso na primeira vamos ter 2 A + 1 - B = 1

2 A = B

Jogando isso na segunda equação

A + 2 2 A = 1 → 5 A = 1 → A = 1 5

E voltando

B = 2 A = 2 5

E

C = 1 - B = 1 - 2 5 = 3 5

Em resumo:

A = 1 5 ;                     B = 2 5 ;                     C = 3 5 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

x 2 + x + 1 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = 1 5 x + 2 5 ( x 2 + 1 ) + 3 5 ( 2 x + 1 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ x 2 + x + 1 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = ∫ 1 5 x + 2 5 ( x 2 + 1 ) d x + ∫ 3 5 ( 2 x + 1 ) d x    

∫ x 2 + x + 1 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = 1 5 ∫ x d x x 2 + 1 + 2 5 ∫ d x x 2 + 1 + 3 5 ∫ d x 2 x + 1

Agora temos que calcular cada ums desses termos.

O primeiro a gente resolve por substituição, fazendo

u = x 2 + 1 → d u = 2 x d x

∫ x d x x 2 + 1 = ∫ d u / 2 u = 1 2 ln ⁡ u = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1

O segundo, a gente olha na tabela de integrais fundamentais e vê que essa integral é arcotangente

∫ d x x 2 + 1 = arctan ⁡ x

E o último a gente faz uma outra substituição simples

v = 2 x + 1 → d v = 2 d x

∫ d x 2 x + 1 = ∫ d v / 2 v = 1 2 ln ⁡ v = 1 2 ln ⁡ 2 x + 1

Passo 4

Agora, juntando tudo

∫ x 2 + x + 1 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = 1 5 ∫ x d x x 2 + 1 + 2 5 ∫ d x x 2 + 1 + 3 5 ∫ d x 2 x + 1

∫ x 2 + x + 1 2 x + 1 x 2 + 1 d x = 1 5 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + 2 5 arctan ⁡ x + 3 5 1 2 ln ⁡ 2 x + 1

∫ x 2 + x + 1 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = 1 10 ln ⁡ x 2 + 1 + 2 5 arctan ⁡ x + 3 10 ln ⁡ 2 x + 1

Belezinha? 😉

Resposta

∫ x 2 + x + 1 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = 1 10 ln ⁡ x 2 + 1 + 2 5 arctan ⁡ x + 3 10 ln ⁡ 2 x + 1

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