Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

2 x 2 + y 2 = 4 c 1 x

Passo 1

E aí, vamos lá fazer mais um de trajetórias ortogonais?

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   2 x 2 + y 2 = 4 c 1 x , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

2 x 2 + y 2 = 4 c 1 x     ( I )

Usando a regra da cadeia:

4 x + 2 y d y d x = 4 c 1

2 y d y d x = 4 c 1 - 4 x

d y d x = 4 c 1 - 4 x 2 y

d y d x = 2 c 1 - 2 x y     ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

2 x 2 + y 2 = 4 c 1 x

c 1 = 2 x 2 + y 2 4 x

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = 2 2 x 2 + y 2 4 x - 2 x y

d y d x = 2 x 2 + y 2 2 x - 4 x 2 2 x y

d y d x = - 2 x 2 + y ² 2 x y

Então a equação diferencial da família dada é

d y d x = - 2 x 2 + y ² 2 x y

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = - 2 x 2 + y ² 2 x y

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - 2 x y - 2 x 2 + y ²

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - 2 x y - 2 x 2 + y 2  

d y d x = 2 x y 2 x 2 - y 2     ( I I I )

Isso é uma equação diferencial homogênea, então vamos usar os super métodos de resolução que vimos lá na teoria e chamar uma nova variável:

z = y x

y = z x

E aí vamos calcular o novo d y d x usando a regra do produto, já que y = z x :

d y d x = d z x d x

d y d x = d z d x x + d x d x . z

d y d x = d z d x x + z

Agora vamos lá na equação ( I I I ) e trocar y por z x e d y d x por d z d x x + z :

d z d x x + z = 2 x ( z x ) 2 x 2 - ( z x ) 2

Agora sim, vamos resolver essa equação diferencial em z e depois voltamos pro y belezinha?

Passo 5

Temos d z d x x + z = 2 x ( z x ) 2 x 2 - ( z x ) 2

d z d x x = 2 x ² z 2 x 2 - z ² x ² - z

d z d x x = 2 z 2 - z ² - z

Fazendo MMC em z

d z d x x = 2 z 2 - z ² - z . ( 2 - z 2 ) 2 - z ²

d z d x x = 2 z 2 - z ² - 2 z - z ³ 2 - z ²

Então temos a EDO separável:

d z d x x = z ³ 2 - z ²

Então olha só:

2 - z ² z ³ d z = 1 x d x

Integrando dos dois lados:

∫ 2 - z ² z ³ d z = ∫ 1 x   d x

- 2 - z 2 2 z 2 - ln ⁡ z = ln ⁡ x + c 2

Agora vamos voltar para a variável y , lembrando que z = y x :

- 2 - y x 2 2 y x 2 - ln ⁡ y x = ln ⁡ x + c 2

Então, as trajetórias ortogonais são descritas por

x 2 + y 2 . ln ⁡ | y | = c 1 y ²

Resposta

x 2 + y 2 . ln ⁡ | y | = c 1 y ²

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