Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y 3 + 3 x 2 y = c 1

Passo 1

E aí, vamos lá fazer mais um de trajetórias ortogonais?

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   y 3 + 3 x 2 y = c 1 , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y 3 + 3 x 2 y = c 1 ( I )

Usando a regra da cadeia:

3 y 2 d y d x + 6 x . y + 3 x 2 d y d x = 0

d y d x 3 y 2 + 3 x 2 = - 6 x y

d y d x = - 6 x y 3 y 2 + 3 x 2

Então, a equação diferencial da família dada é

d y d x = - 2 x y y 2 + x 2       ( I I )

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = - 2 x y y 2 + x 2

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = x 2 + y ² 2 x y

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = x 2 + y ² 2 x y   ( I I I )

Isso é uma equação diferencial homogênea, então vamos usar os super métodos de resolução que vimos lá na teoria e chamar uma nova variável:

z = y x

y = z x

E aí vamos calcular o novo d y d x usando a regra do produto, já que y = z x :

d y d x = d z x d x

d y d x = d z d x x + d x d x . z

d y d x = d z d x x + z

Agora vamos lá na equação ( I I I ) e trocar y por z x e d y d x por d z d x x + z :

d z d x x + z = x 2 + ( z x ) 2 2 x ( z x )

Agora sim, vamos resolver essa equação diferencial em z e depois voltamos pro y belezinha?

Passo 5

Temos d z d x x + z = x 2 + ( z x ) 2 2 x ( z x )

d z d x x + z = x 2 + z ² x ² 2 x ² z

d z d x x = 1 + z 2 2 z - z

Fazendo MMC em z

d z d x x = 1 + z 2 2 z - 2 z ² 2 z

Então temos a EDO separável:

d z d x x = 1 - z ² 2 z

Então olha só:

2 z 1 - z ² d z = 1 x d x

Integrando dos dois lados:

∫ 2 z 1 - z ² d z = ∫ 1 x   d x

- ln ⁡ | 1 - z ² | = ln ⁡ x + c 2

Agora vamos voltar para a variável y , lembrando que z = y x :

- ln ⁡ | 1 - y x ² | = ln ⁡ x + c 2

Resposta

- ln ⁡ 1 - y x 2 = ln ⁡ x + c 2

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