Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y 2 = c 1 . x ³

Passo 1

E aí, vamos pra mais uma??

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y 2 = c 1 . x ³ , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y 2 = c 1 . x ³     ( I )

Por regra da cadeia no lado esquerdo, temos:

2 y d y d x = 3 . c 1 . x 2

d y d x = 3 . c 1 . x 2 2 y       ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y 2 = c 1 . x 3

c 1 = y 2 x ³

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = 3 . y 2 x ³ . x 2 2 y

d y d x = 3 y ² x ² 2 y x ³

Então, a equação diferencial da família dada é:

d y d x = 3 y 2 x

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos d y d x = 3 y 2 x

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - 2 x 3 y

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - 2 x 3 y

Multiplicando em cruz:

3 y   d y = - 2 x   d x

Integrando dos dois lados:

∫ 3 y   d y = - ∫ 2 x   d x

3 . y 2 2 + c 2 = - x 2 + c 3

Podemos juntar c 2 e c 3 e formar uma nova constante c 4

3 . y 2 2 = - x 2 + c 4

Então, mandando tudo pra um lado só, temos que as trajetórias ortogonais são descritas assim:

3 y 2 + 2 x ² = c 4

Resposta

3 y 2 + 2 x ² = c 4

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