Nos Exercícios 51-70, determine dy/dt

56. y = (t^(-3/4) \* sen t)^(4/3)

Passo 1

Então pessoal, para conseguirmos resolver esse exercício devemos nos lembrar da regra da cadeia e da regra do produto, beleza? Utilizaremos a regra da cadeia para derivar a função como um todo, no entanto, ainda sim precisaremos derivar a função mais interna, que é aquele produto, sacou? A regra do produto é dada por:

g = u . v

g ' = u ' . v + u . v '

Onde u e v são funções de x , ok? Sendo assim, bora lá!

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia para derivar a função mais externa, teremos:

d y d t =   4 3 t - 3 4 . s e n   t 4 3 - 1 . ( t - 3 4 . s e n   t ) '

∴ d y d t = 4 3 t - 3 4 . s e n   t 1 3 . ( t - 3 4 . s e n   t ) '  

Passo 3

Agora só precisamos determinar a derivada daquele produto ali, certo? Vamos fazer o seguinte:

u =   t - 3 4 ⇒ u ' = - 3 4 . t - 7 4

v = s e n   t ��� v ' = cos ⁡ t

Jogando na regra do produto, teremos:

g ' = u ' . v + u . v '

g ' = - 3 4 . t - 7 4 . s e n   t + t - 3 4 . cos ⁡ t  

Passo 4

Agora que já encontramos tudo, basta substituirmos em d y d t , se liga:

d y d t = 4 3 t - 3 4 . s e n   t 1 3 . ( - 3 4 . t - 7 4 . s e n   t + t - 3 4 . cos ⁡ t )  

d y d t =   4 3 t - 1 . s e n   t 3 . cos ⁡ t - t - 2 . ( s e n   t ) 4 3

∴ d y d t =   4 . s e n   t 3 . cos ⁡ t 3 t - ( s e n   t ) 4 3 t ²

Resposta

d y d t =   4 . s e n   t 3 . cos ⁡ t 3 t - ( s e n   t ) 4 3 t ²

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