Nos exercícios 25 a 34, ache dy/dx

34.sec(x + y) - sec(x - y) = 1

Passo 1

Não podemos separar x e y nos lados direito e esquerdo, então precisamos derivar dos dois lados para obtermos a derivada implícita:

d d x sec ⁡ x + y - sec ⁡ x - y = d d x 1

Passo 2

A derivada no lado direito é simples:

d d x 1 = 0

E a derivada do lado esquerdo vamos reescrever como:

d d x sec ⁡ x + y - sec ⁡ x - y = d d x sec ⁡ x + y - d d x sec ⁡ x - y

E agora vamos resolver cada derivada separadamente, nas duas precisaremos aplicar a Regra da Cadeia, pois y é uma função de x. Primeiro vamos derivar a função de fora:

d d t s e c t = t g t s e c t

Então substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela, no primeiro caso vai ficar:

d d x sec ⁡ x + y = t g x + y s e c x + y d d x x + y

A derivada que sobrou podemos fazer diretamente, o resultado de tudo então será:

d d x sec ⁡ x + y = t g x + y s e c x + y ( 1 + y ' )

Para o segundo caso:

d d x sec ⁡ x - y t g x - y s e c x - y d d x x - y

Que vai ficar:

d d x sec ⁡ x - y = t g x - y s e c x - y 1 - y '

Passo 3

Pronto, agora só precisamos substituir os resultados que calculamos lá no Passo 1:

d d x sec ⁡ x + y - sec ⁡ x - y = d d x 1

Assim:

t g x + y s e c x + y ( 1 + y ' ) - t g x - y s e c x - y 1 - y ' = 0

Reescrevendo:

y ' t g x + y s e c x + y + t g x + y s e c x + y + y ' t g x - y s e c x - y - t g x - y s e c x - y = 0

y ' t g x + y s e c x + y + t g x - y s e c x - y = t g x - y s e c x - y - t g x + y s e c x + y

y ' = d y d x = t g x + y s e c x + y + t g x - y s e c x - y t g x - y s e c x - y - t g x + y s e c x + y

Resposta

d y d x = t g x + y s e c x + y + t g x - y s e c x - y t g x - y s e c x - y - t g x + y s e c x + y

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