Nos Exercícios 51-70, determine dy/dt

68. y = cos^4(se c^2(3t))

Passo 1

Então pessoal, para derivarmos essa função teremos que utilizar duas vezes a regra da cadeia, beleza? Uma regra para derivar o cosseno e outra regra para derivar aquela secante, que é a função mais interna, fechou? A regra nos diz o seguinte:

d y d t = d y d u × d u d t

Passo 2

Temos que:

u =   ( s e c 2 3 t )

Para descobrirmos a derivada dessa função, também utilizaremos a regra da cadeia. Como a derivada de sec ⁡ ( t ) é sec ⁡ ( t ) . t g ( t ) , teremos:

d u d t = 2 . sec ⁡ 3 t . sec ⁡ 3 t . t g 3 t . 3

Perceba que derivamos a função mais externa e multiplicamos pela derivada da função mais interna, beleza?

∴ d u d t = 6 . s e c 2 3 t . t g ( 3 t )

Passo 3

Agora que já achamos uma derivada, basta descobrirmos a outra, se liga:

y = c o s 4 u

Utilizando exatamente o mesmo raciocínio do passo anterior, teremos:

d y d u = 4 . c o s ³ u . ( - s e n u )

∴ d y d u = - 4 . cos ⁡ ³ u . s e n ( u )

Passo 4

Agora que já temos todas as derivadas, já são dados suficientes para descobrirmos o resultado da derivada que queremos, que é y ' . Substituindo na regra que comentamos no primeiro passo, teremos:

d y d t = d y d u × d u d t

d y d t = - 4 . cos ⁡ ³ u . s e n u . 6 . s e c 2 3 t . t g ( 3 t )

∴ d y d t = - 24 . c o s ³ s e c 2 3 t . s e n s e c 2 3 t . s e c 2 3 t . t g ( 3 t )

Resposta

d y d t = - 24 . c o s ³ s e c 2 3 t . s e n s e c 2 3 t . s e c 2 3 t . t g ( 3 t )

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