Enunciado

Nos Exercícios 55-62, faça o gráfico da função e determine o seu valor médio ao longo do intervalo dado.

61. f x = x - 1 em a. - 1 ,   1 , b. [ 1 ,   3 ] e c. [ - 1 ,   3 ]

Passo 1

Então galera, para determinarmos o valor médio de uma função, assim como discutido na seção 3 do George, basta calcularmos isso aqui ó:

M é d i a   f = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

E para calcularmos o valor dessa integral, assim como discutido nessa mesma seção, basta lembrarmos das seguintes integrais:

∫ a b x d x = b ² 2 - a 2 2 ,   a < b

∫ a b c d x = c b - a

∫ a b x ² d x = b ³ 3 - a 3 3 ,   a < b

Passo 2

a) Se plotarmos o gráfico dessa função f no intervalo apresentado pela questão [ - 1 ,   1 ] , teremos o seguinte:

Passo 3

Calculando o valor médio, teremos:

M é d i a   f = 1 1 - ( - 1 ) ∫ - 1 1 - x - 1 d x

M é d i a   f = - 1 2 ∫ - 1 1 x d x - 1 2 ∫ - 1 1 d x

M é d i a   f = - 1 2 . 1 2 2 - - 1 2 2 - 1 2 . ( 1 - - 1 )

∴ M é d i a   f = - 1 2

Passo 4

b) Se plotarmos o gráfico dessa função f no intervalo apresentado pela questão [ 1 ,   3 ] , teremos o seguinte:

Passo 5

Calculando o valor médio, teremos:

M é d i a   f = 1 3 - 1 ∫ 1 3 ( x - 1 ) d x

M é d i a   f = 1 2 ∫ 1 3 x d x - 1 2 ∫ 1 3 d x

M é d i a   f = 1 2 . 3 2 2 - 1 2 2 - 1 2 . ( 3 - 1 )

∴ M é d i a   f = 2 - 1 = 1

Passo 6

c) Se plotarmos o gráfico dessa função f no intervalo apresentado pela questão [ - 1 ,   3 ] , teremos o seguinte:

É importante notar que esse gráfico, nesse intervalo específico, é a junção dos gráficos de a) e b).

Passo 7

Calculando o valor médio, teremos:

M é d i a   f = 1 3 - ( - 1 ) ∫ - 1 3 ( x - 1 ) d x

Podemos reescrever essa média com intervalos conhecidos, galera. Se liga:

M é d i a   f = 1 4 . ∫ - 1 1 - x - 1 d x + 1 4 . ∫ 1 3 ( x - 1 ) d x

Como já calculamos os valores das integrais nas questões anteriores, basta substituirmos os valores que já encontramos:

M é d i a   f = 1 4 . ( 2 - 1 ) = 1 4

Resposta

a )   M é d i a   f = - 1 2  

b )   M é d i a   f = 1

c )   M é d i a   f =   1 4

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Calcule, caso exista, e justifique sua resposta.c)∫ 0 1 f x d xo n d ef x = 1 x 2s e0x ≤ 1 2 s e x = 0
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A função dada é integrável? Justifique. f x = x 2s e - 2 ≤ x1 2 x s e 1 ≤ x ≤ 2
A função dada é integrável? Justifique.f x =1s ex = 0 s e n x x s e 0x ≤ 1
A função dada é integrável? Justifique.b) f x = e - x 2 ,0 ≤ x ≤ 4