Enunciado

Faça o gráfico da função

y = 3 2 x x - 1 2 3

Explique a relação entre a fórmula e o que você observa.

Passo 1

O primeiro passo é considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f x = 3 2 x x - 1 2 3

Para isso podemos utilizar o famoso “quem tá no sol vai para sombra e quem está sombra vai para o sol” temos que a 2 3 = a 2 3 , então

f x = 3 2 x x - 1 2 3 = 3 2 x   x - 1 3

Sendo assim,

f x = 3 2 x   x - 1 3

Passo 2

O segundo corresponde ao item a , ou seja, observaremos o comportamento de f x quando x → 0 + . Para isso, utilizaremos a regra do produto (o limite do produto é o produto dos limites)

l i m x → 0 + f x = l i m ⁡ x → 0 + 3 2 . x   x - 1 3 = l i m ⁡ x → 0 + 3 2 .   l i m ⁡ x → 0 + x   x - 1 3

Substiuindo x = 0 em f x teremos,

l i m x → 0 + f x = l i m ⁡ x → 0 + 3 2 .   l i m ⁡ x → 0 + x   x - 1 3 = 3 2 . 0   0 - 1 3 = 3 2 . 0 - 1 3 = 3 2 . 0 3 = 3 2 . 0 = 0

Sendo assim x = 0 não é uma assíntota vertical para f ( x ) , ou seja, é um ponto comum de f x .

Passo 3

O passo corresponde ao item b, ou seja, observaremos o comportamento de f x quando x → ± ∞ . Para isso, dividiremos o numerador e o denominador pela maior potência de x ,

l i m x → ± ∞ f x = l i m x → ± ∞ 3 2 x   x - 1 3 = l i m x → ± ∞ 3 2 .   x x x x - 1 x 3 =   l i m x → ± ∞ 3 2 .   1 1 - 1 x 3

Utilizando a regra do produto (o limite do produto é o produto dos limites),

l i m x → ± ∞ f x = l i m x → ± ∞ 3 2 . l i m x → ± ∞   1 1 - 1 x 3

Pela continuidade da função raíz cúbica podemos passar o limite para “dentro” da raíz,

l i m x → ± ∞ f x = l i m x → ± ∞ 3 2 . l i m x → ± ∞   1 1 - 1 x 3 = l i m x → ± ∞ 3 2 . l i m x → ± ∞   1 1 - 1 x 3

Pela regra do quociente (o limite do quociente é o quociente dos limites) e a regra da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites).

l i m x → ± ∞ f x = l i m x → ± ∞ 3 2 . l i m x → ± ∞   1 1 - 1 x 3

= l i m x → ± ∞ 3 2 .   l i m x → ± ∞ 1 l i m x → ± ∞ 1 - l i m x → ± ∞ 1 x 3 = 3 2 .   1 1 - 0 3 = 3 2 .   1 1 3 = 3 2 . 1 3 = 3 2 . 1 = 3 2 .

Portanto, f ( x ) possui uma assíntota horizontal , em f x = 3 2 .

Passo 4

O quarto passo corresponde ao item c, ou seja, observaremos o comportamento de f x quando x → ± 1 . Realizando primeiro o caso em que x = 1 ,

l i m x → 1 f x = l i m ⁡ x → 1 3 2 . x   x - 1 3 = l i m ⁡ x → 1 3 2 .   l i m ⁡ x → 1 x   x - 1 3

Substiuindo x = 1 em f x teremos,

l i m x → 1 f x = l i m ⁡ x → 1 3 2 .   l i m ⁡ x → 1 x   x - 1 3 = 3 2 . 1   1 - 1 3 = 3 2 . 1 0 3 = ∞

Sendo assim x = 1 é uma assíntota vertical para f ( x ) .

Utilizando as mesmas regras para o caso de x = - 1 teremos,

l i m x → - 1 f x = l i m ⁡ x → - 1 3 2 .   l i m ⁡ x → - 1 x   x - 1 3 = 3 2 . - 1 - 1 - 1 3 = 3 2 . - 1 - 2 3 = 3 2 . 1 2 3

Logo, x = - 1 não é uma assíntota vertical para f x , ou seja, é um ponto comum de f x .

Resposta

Item a. Quando x → 0 +   , f ( x ) não possui nenhuma assíntota vertical.

Item b. Quando x → ± ∞   , f ( x ) possui uma assíntota horizontal, em f x = 3 2 .

Item. Quando x → ± 1   , f ( x ) assume uma assíntota vertical em x = 1 ,porém para x = - 1 , f ( x ) assume um valor comum, ou, seja sem nenhuma particularidade.

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