Enunciado

Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:

61) z = x 2 + y 2 + z 2 ; x + y + z = 9

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor máximo ou mínimo, mas sabendo que x + y + z = 9 .

Então neste caso a condição será:

s . a .                   x + y + z = 9

Nós teremos o seguinte problema de otimização:

max / min ⁡                                     x 2 + y 2 + z 2

s . a .                                                   x + y + z = 9

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = x 2 + y 2 + z 2 - λ ( x + y + z - 9 )

Derivando L em relação às variáveis x, y e λ e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = 2 x - λ = 0

∂ L ∂ y = 2 y - λ = 0

∂ L ∂ z = 2 z - λ = 0

∂ L ∂ λ = - ( x + y + z - 9 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

x = y

Igualando a segunda e a terceira equações nós achamos:

y = z

Colocando na última equação:

x + y + z - 9 = 0

3 x = 9

x = 3

Achando y e z:

y = z = 3  

Então nós teremos um ponto:

3 ,   3 ,   3  

Passo 3

Para saber se o ponto é máximo ou mínimo, basta olharmos função:

z = x 2 + y 2 + z 2

Sendo assim, nós teremos um paraboloide de concavidade voltada para cima, ou seja, o ponto 3 ,   3 ,   3 é mínimo !!

Tranquilinha?!

Resposta

3 ,   3 ,   3 → M í n i m o

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Considere o problema de maximizar a função f x ,y = 2 x + 3 y sujeita à restrição x + y = 5 .(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver o problema.(b) f 25 ,0 dá um valor maior que o