Enunciado

Mostrar que o paralelepípedo retângulo de maior volume que pode ser colocado dentro de uma esfera tem a forma de um cubo.

Passo 1

Beleza galera, vamos olhar o nosso paralelepípedo retângulo mais de perto:

Para que ele tenha a forma de cubo, acharemos que a = b = c , certo?

Para que este paralelepípedo caiba na nossa esfera de raio r, o que deverá acontecer?

Acertou quem disse que a diagonal dele deverá ter o valor do diâmetro da esfera, vamos olhar desenho:

A diagonal é dada por:

d i a g o n a l =   a 2 + b 2 + c 2

E o diâmetro:

d i â m e t r o = 2 r

Neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor máximo para o volume, mas sabendo que d i a g o n a l = d i â m e t r o :

s . a .                   a 2 + b 2 + c 2 =   2 r

Elevando ambos os lados ao quadrado:

s . a .                   a 2 + b 2 + c 2 =   4 r 2

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

max ⁡                                                                                     a b c

s . a .                             a 2 + b 2 + c 2 =   4 r 2

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = a b c - λ ( a 2 + b 2 + c 2 - 4 r 2 )

Derivando L em relação às variáveis a, b e c e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ a = b c - 2 a λ = 0

∂ L ∂ b = a c - 2 b λ = 0

∂ L ∂ c = a b - 2 c λ = 0

∂ L ∂ λ = - ( a 2 + b 2 + c 2 - 4 r 2 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

a = ± b

Se igualamos a segunda e a terceira achamos:

b = ± c

Como estamos nos tratando de medidas, teremos o valor positivo.

Ou seja:

a = b = c

E já sabemos que representa um cubo, não é?!

E fim galerinhaa!

Resposta

a = b = c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.Exercício 42
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita