Enunciado

Nos Exercícios 7-12, use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir.

y = x 2 ,   y = 2 - x ,   x = 0 ,   para   x ≥ 0

Passo 1

Lembrando do método da casca que é um método para calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π r a i o   d a c a s c a a l t u r a d a   c a s c a

Como o volume é em torno de y , o raio da casca é igual a x . Já a altura da casca é igual a diferença entre as curvas y = x 2 e y = 2 - x .

Assim,

V = ∫ 0 1 2 π x 2 - x - x 2 d x = 2 π ∫ 0 1 x 2 - x - x 2 d x = 2 π ∫ 0 1 2 x - x 2 - x 3 d x

Passo 2

Calculando a integral:

V = 2 π ∫ 0 1 2 x - x 2 - x 3 d x = 2 π 2 x 2 2 - x 3 3 - x 4 4 0 1

V = 2 π x 2 - x 3 3 - x 4 4 0 1 = 2 π 1 2 - 1 3 3 - 1 4 4 - 0 2 - 0 3 3 - 0 4 4

V = 2 π 1 - 1 3 - 1 4 = 2 π 12 - 3 - 4 12 = 2 π ∙ 5 12 = 5 π 6

Resposta

5 π 6

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Se a região mostrada na figura a seguir é girada em torno do eixo y formando um sólido, use a Regra de Simpson, com n = 8 , para estimar o volume do sólido.
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. y = e x , y = e - x , x = 1 ; e mt o r n od oe i
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. x = ln ⁡ y ,y = 1 ,y = π ; e mt o r n od oe i
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. y = e - x ,x = 0 ,y = π ; e mt o r n od oe i x
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. y = cos ⁡ π x 2 ,y = 0 ,0 ≤ x ≤ 1 ; e mt o r n