Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados.

x = ln ⁡ y ,   y = 1 ,   y = π ; e m   t o r n o   d o   e i x o   x

Passo 1

Como y varia entre 1 e π , nosso volume será:

V = ∫ 1 π 2 π y ln ⁡ y d y = 2 π 1 2 y 2 ln ⁡ y - 1 4 y 2 1 π

Passo 2

Usaremos a substituição para resolver, então

u = ln ⁡ y ,   d v = y d y

Passo 3

Agora a gente finaliza substituindo em V :

V = 2 π 1 4 y 2 ( 2 ln ⁡ y - 1 ) 1 π = 2 π π 2 2 ln ⁡ π - 1 4 - 0 - 1 4 = π 3 ln ⁡ π - π 3 2 + π 2

Resposta

V = π 3 ln ⁡ π - π 3 2 + π 2 .

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A região delimitada pelas curvas dada é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método.y - x 2 = 1y = 2 ,e mt o r n od oe i x oy
Se a região mostrada na figura for girada em torno do eixo y para formar um sólifo, use a regra do ponto médio, com n = 5 para estimar o volume do sólido.
Considere T a região triangular com vértices 0,0 ,0,1 e( 1,2 ) e considere V o volume do sólido obtido quando T é girado em torno da reta x = a , onde a1 . Expresse a em termos de V .
Use um gráfico para estimar as coordenadas de x dos pontos de interseção das curvas dadas. Então use essa informação para estimar o volume do solido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região li
A região limitada pelas curvas dadas é girada ao redor dos eixos especificados. Ache o volume do solido resultante por qualquer método y = x 2 - 3 x + 2 , y = 0 ; ao redor do eixo x