Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados.

y = e - x ,   x = 0 ,   y = π ; e m   t o r n o   d o   e i x o   x = 1

Passo 1

Como a função está limitada por x = 0 , e gira em torno de x = 1 , a limitação é de - 1 a 0 . Assim, o volume será

V = ∫ - 1 0 2 π ( 1 - x ) e - x d x

Passo 2

Usaremos a substituição para resolver, então

u = 1 - x ,   d v = e - x d x → d u = - d x ,   v = - e - x

Passo 3

Agora a gente finaliza substituindo em V :

V = 2 π ( 1 - x ) ( - e - x ) - 1 0 - 2 π ∫ - 1 0 e - x d x = 2 π x - 1 e - x + e - x - 1 0 =

2 π x e - x - 1 0 = 2 π 0 + e = 2 π e

Resposta

V = 2 π e .

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