Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.

y = e x ,     y = e - x ,             x = 1 ;             e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos lembrar do Método de Cascas:

V = ∫ a b 2 π ( x - e i x o ) . ( f x - g x ) . d x

O nosso eixo de rotação será o eixo y, ou seja, x = 0 . Sendo assim, nosso intervalo de integração vai de 0 → 1 .

Assumindo que:

f ( x ) = e x

g ( x ) = e - x

Substituímos:

V = ∫ 0 1 2 π ( x - 0 ) . ( e x - e - x ) . d x

V = ∫ 0 1 2 π x . ( e x - e - x ) . d x

Tiramos a constante da integral e fazendo a distributiva:

V = 2 π ∫ 0 1 ( x e x - x e - x ) . d x

Separando as integrais:

V = 2 π ∫ 0 1 x e x . d x - ∫ 0 1 x e - x . d x

Vamos resolver por partes.

Passo 2

Começando por:

∫ 0 1 x e x . d x

Vamos resolver por Partes. Para isso basta lembrarmos do LIATE para escolher o u, não é?

Sendo assim:

u = x →     d u = d x

E:

d v = e x . d x     →     v = e x

Substituímos na fórmula da integral:

∫ 0 1 x e x . d x = x e x - ∫ 0 1 e x . d x

∫ 0 1 x e x . d x = x e x - e x 1 0

Aplicando o intervalo:

∫ 0 1 x e x . d x = 1 e 1 - e 1 - 0 . e 0 - e 0 = 1

Passo 3

Agora vamos para a última:

∫ 0 1 x e - x . d x

Também vamos resolver por Partes, certo?

Sendo assim:

u = x →     d u = d x

E:

d v = e - x . d x     →     v = - e - x

Substituímos na fórmula da integral:

∫ 0 1 x e - x . d x = - x e - x - ∫ 0 1 - e - x . d x

∫ 0 1 x e - x . d x = [ - x e - x - e - x ] 1 0

Aplicando o intervalo:

∫ 0 1 x e - x . d x = - 1 e - 1 - e - 1 - - 0 . e 0 - e 0

∫ 0 1 x e - x . d x = 1 - 2 e  

Colocando os resultados no Passo 1:

V = 2 π 1 - 1 - 2 e

V = 2 π 1 - 1 + 2 e

V = 4 π e

Prontinho!!

Resposta

V = 4 π e

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