Enunciado

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ 0 1 ∫ x 2 - x 2 x + 2 y d y   d x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Neste caso temos as funções:

y = x

y = 2 - x 2

E se fizermos o esboço dessas funções, temos:

Dado que os limites de integração dados pela segunda integral são de [ 0 , 1 ], temos que:

0 ≤ r ≤ 2

E para θ :

y = x

r   s e n θ = r cos ⁡ θ

θ = π 4

E vemos que percorre até y=1, logo:

π 4 ≤ θ ≤ π 2

Feito isto, vamos para a função dada. Temos que:

x + 2 y

Sabendo que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

Logo:

r cos ⁡ θ + 2 r   s e n   θ

Passo 3

Assim:

∫ 0 1 ∫ x 2 x - x 2 x + 2 y d y   d x = ∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 r cos ⁡ θ + 2   s e n θ r   d r   d θ

∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 r 2 cos ⁡ θ   d r +   2 ∫ 0 2 r 2 s e n θ d r d θ

∫ π 4 π 2 cos ⁡ θ 3 r 3 + 2 3 s e n θ r 3 0 2 d θ

∫ π 4 π 2 2 2 2 cos ⁡ θ + 4 2 3 s e n θ d θ

2 2 3 ∫ π 4 π 2 cos ⁡ θ + 2 s e n θ d θ

2 2 3 s e n θ - 2 cos ⁡ θ π 4 π 2

2 2 3 1 - 0 - 2 2 - 2 2 2

2 2 3 1 + 2 2

2 2 3 + 4 6

2 2 + 2 3

2 3 2 + 1

Resposta

∫ 0 1 ∫ x 2 x - x 2 x + 2 y d y   d x = ∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 r cos ⁡ θ + 2   s e n θ r   d r   d θ

E o valor da integral é:

2 3 2 + 1

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