Enunciado

Suponha que a área de uma região no plano de coordenadas polares seja

A = ∫ π 4 3 4 π ∫ c o s s e c θ 2   s e n θ r   d r   d θ

Esboce a região e encontre sua área.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo o esboço, temos:

E calculando A em:

A = ∫ π 4 3 4 π ∫ c o s s e c θ 2   s e n θ r   d r   d θ

Passo 2

∫ π 4 3 4 π 1 2 r 2 c o s s e c θ 2   s e n θ d θ

1 2 ∫ π 4 3 4 π 4   s e n 2 θ - c o s s e c 2 θ d θ

Passo 3

Lembrando que s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x e também que cos 2 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2

Assim: s e n 2 x = 1 - 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 = 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 . Logo:

1 2 ∫ π 4 3 4 π 4 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 - c o s s e c 2 θ d θ

1 2 2 θ - s e n 2 θ + c o t g θ π 4 3 4 π

π 2

Resposta

π 2

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