Enunciado

Nos Exercícios 23-26, esboce a região de integração e converta cada uma das integrais polares ou soma de integrais a uma integral cartesiana ou soma de integrais. Não calcule as integrais.

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3   s e n θ cos ⁡ θ d r   d θ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

A forma mais fácil e mais rápida se de resolver problemas desse tipo, é fazendo um esboço. Por termos em coordenadas polares, podemos construir uma circunferência, isto é:

Dado pela limites de integração do enunciado que θ vai de [ 0 , π 2 ] e o raio é 1, temos:

Passo 3

Dada a função:

r 3 s e n θ cos ⁡ θ

Lembrando que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

Temos que:

r 3 s e n θ cos ⁡ θ = x y r

Onde esse r extra é o jacobiano que nos permitiu ates passar de coordenadas cartesianas opara a coordenadas polares, agira que estamos fazendo o caminho inverso ele deve ser retirado. Logo:

r 3 s e n θ cos ⁡ θ = x y

Assim, podemos expressar como:

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3   s e n θ cos ⁡ θ d r   d θ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 x y   d y   d x      

Ou:

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3   s e n θ cos ⁡ θ d r   d θ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x y   d x   d y

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3   s e n θ cos ⁡ θ d r   d θ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 x y   d y   d x      

Ou:

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3   s e n θ cos ⁡ θ d r   d θ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x y   d x   d y

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