Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 18, determine se a função é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

17. g x = x - 2

Passo 1

Primeiro vamos entender o que é uma função biunívoca (ou injetora). Uma função dessa forma tem a característica de que cada componente do seu domínio só tem um correspondente em sua imagem. O diagrama a seguir demonstra essa característica.

Onde A é o domínio da função e B é a imagem dessa função, pode – se reparar que cada membro do domínio corresponde a um único membro da imagem.

Passo 2

Agora vamos avaliar a função que nos foi dada.

g x = x - 2

Para fazer isso, vamos usar o teorema 7.1.2 do capítulo 7, seção 2, que diz que se uma função for crescente ou decrescente em todo seu domínio ou intervalo, ela é biunívoca.

Para saber se a função é crescente ou decrescente vamos derivar a função e ver se ela é negativa no seu domínio ou positiva.

Passo 3

Vamos derivar a função.

g x = | x - 2 |

Lembrando que:

x ' = x | x |

Assim:

g ' x = x - 2 d d x x - 2 x - 2

= ( x - 2 ) x - 2

Como pode ser visto a função derivada pode ser positiva para x > 2 ou negativa para x < 2 , assim nossa função g ( x ) decresce para x < 2 e cresce para x > 2 .

Assim nossa função não é biunívoca.

Passo 4

Agora vamos ver como ficaria o gráfico dessa função.

Através do gráfico também é possível ver o que constatamos no passo 3.

Resposta

A função g ( x ) não é biunívoca.

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