Nos exercícios 25 a 34, ache dy/dx

27.y = 1 / (x - raiz(x^2 - 1))

Passo 1

Nesse caso não precisamos derivar a função implicitamente, pois não há nenhuma função sobre y.

Basta então fazermos a derivada do lado direito normalmente:

d y d x = d d x 1 x - x 2 - 1

Passo 2

Para isso, vamos aplicar a Regra do Quociente:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

Nossa função então vai ficar:

d d x 1 x - x 2 - 1 - 1 d d x ( x - x 2 - 1 ) ( x - x 2 - 1 ) 2

A primeira parte da diferença some, porque derivada de 1 é 0, sobrando:

- d d x ( x - x 2 - 1 ) ( x - x 2 - 1 ) 2

Passo 3

Então vamos fazer a derivada do numerador:

d d x ( x - x 2 - 1 )

d d x ( x ) - d d x ( x 2 - 1 )

1 - d d x ( x 2 - 1 )

Na derivada que sobrou precisamos aplicar a Regra da Cadeia. Primeiro derivamos a função de fora: d d t t = 1 2 t

E substituímos t pela função de dentro e multiplicando pela derivada dela:

d d x x 2 - 1 = 1 2 x 2 - 1 d d x x 2 - 1

Que será:

d d x x 2 - 1 = x x 2 - 1

E então:

d d x x - x 2 - 1 = 1 - x x 2 - 1

Passo 4

E por fim, a gente substitui o resultado na nossa Regra do Quociente lá do Passo 1:

- d d x ( x - x 2 - 1 ) ( x - x 2 - 1 ) 2 = 1 - x x 2 - 1 ( x - x 2 - 1 ) 2 = x 2 - 1 - x ( x - x 2 - 1 ) 2 x 2 - 1

d y d x = x 2 - 1 - x ( x - x 2 - 1 ) 2 x 2 - 1

Resposta

d y d x = x 2 - 1 - x ( x - x 2 - 1 ) 2 x 2 - 1

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