Enunciado

Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) .

27. y = (1)/(x - sqrt(x^2 - 1))

Passo 1

Nesse caso não precisamos derivar a função implicitamente, pois não há nenhuma função sobre y.

Basta então fazermos a derivada do lado direito normalmente:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ((1)/(x - sqrt(x^2 - 1)))

Passo 2

Para isso, vamos aplicar a Regra do Quociente:

(d)/(d x) ((f ( x ))/(g ( x ))) = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' ( x ))/(g ( x )^2)

Nossa função então vai ficar:

((d)/(d x) (1) (x - sqrt(x^2 - 1)) - 1 (d)/(d x) ( x - sqrt(x^2 - 1) ))/(( x - sqrt(x^2 - 1) )^2)

A primeira parte da diferença some, porque derivada de 1 é 0, sobrando:

(- (d)/(d x) ( x - sqrt(x^2 - 1) ))/(( x - sqrt(x^2 - 1) )^2)

Passo 3

Então vamos fazer a derivada do numerador:

(d)/(d x) ( x - sqrt(x^2 - 1) )

(d)/(d x) ( x ) - (d)/(d x) ( sqrt(x^2 - 1) )

1 - (d)/(d x) ( sqrt(x^2 - 1) )

Na derivada que sobrou precisamos aplicar a Regra da Cadeia. Primeiro derivamos a função de fora: (d)/(d t) (sqrt(t)) = (1)/(2 sqrt(t))

E substituímos t pela função de dentro e multiplicando pela derivada dela:

(d)/(d x) (sqrt(x^2 - 1)) = (1)/(2 sqrt(x^2 - 1)) (d)/(d x) (x^2 - 1)

Que será:

(d)/(d x) (sqrt(x^2 - 1)) = (x)/(sqrt(x^2 - 1))

E então:

(d)/(d x) (x - sqrt(x^2 - 1)) = 1 - (x)/(sqrt(x^2 - 1))

Passo 4

E por fim, a gente substitui o resultado na nossa Regra do Quociente lá do Passo 1:

(- (d)/(d x) ( x - sqrt(x^2 - 1) ))/(( x - sqrt(x^2 - 1) )^2) = (1 - (x)/(sqrt(x^2 - 1)))/(( x - sqrt(x^2 - 1) )^2) = (sqrt(x^2 - 1) - x)/(( x - sqrt(x^2 - 1) )^2 sqrt(x^2 - 1))

(d y)/(d x) = (sqrt(x^2 - 1) - x)/(( x - sqrt(x^2 - 1) )^2 sqrt(x^2 - 1))

Resposta

(d y)/(d x) = (sqrt(x^2 - 1) - x)/(( x - sqrt(x^2 - 1) )^2 sqrt(x^2 - 1))

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