Enunciado

Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) .

25. 4 x^2 + 4 y^2 - y^3 = 0

Passo 1

Primeiro vamos separar x de y pela igualdade:

y^3 - 4 y^2 = 4 x^2

Passo 2

Agora vamos derivar os dois lados em relação a x, pois o exercício pede para encontrar (d y)/(d x) :

(d)/(d x) ( y^3 - 4 y^2 ) = (d)/(d x) ( 4 x^2 )

Vamos resolver o lado esquerdo antes do direito, como y é função de x precisamos tratar y como uma função, e ao derivá-la, precisamos aplicar a Regra da Cadeia. O primeiro termo então ficará:

(d)/(d x) (y^3) = 3 y^2 y '

Ou seja, derivamos primeiro a função de fora, que é a potência cúbica e depois multiplicamos pela derivada da função de dentro, o y.

Pelo mesmo raciocínio, o segundo termo fica:

(d)/(d x) (4 y^2) = 8 y y '

Passo 3

Agora só resolver o lado direito:

(d)/(d x) (4 x^2) = 8 x

Passo 4

E por último substituir os dois resultados na equação inicial:

(d)/(d x) ( y^3 - 4 y^2 ) = (d)/(d x) ( 4 x^2 )

3 y^2 y^' - 8 y y^' = 8 x

Reescrevendo:

y^' (3 y^2 - 8 y) = 8 x

y^' = (d y)/(d x) = (8 x)/(3 y^2 - 8 y)

Resposta

(d y)/(d x) = (8 x)/(3 y^2 - 8 y)

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