Nos exercícios 25 a 34, ache dy/dx

25.4x^2 + 4y^2 - y^3 = 0

Passo 1

Primeiro vamos separar x de y pela igualdade:

y 3 - 4 y 2 = 4 x 2

Passo 2

Agora vamos derivar os dois lados em relação a x, pois o exercício pede para encontrar d y d x :

d d x ( y 3 - 4 y 2 ) = d d x ( 4 x 2 )

Vamos resolver o lado esquerdo antes do direito, como y é função de x precisamos tratar y como uma função, e ao derivá-la, precisamos aplicar a Regra da Cadeia. O primeiro termo então ficará:

d d x y 3 = 3 y 2 y '

Ou seja, derivamos primeiro a função de fora, que é a potência cúbica e depois multiplicamos pela derivada da função de dentro, o y.

Pelo mesmo raciocínio, o segundo termo fica:

d d x 4 y 2 = 8 y y '

Passo 3

Agora só resolver o lado direito:

d d x 4 x 2 = 8 x

Passo 4

E por último substituir os dois resultados na equação inicial:

d d x ( y 3 - 4 y 2 ) = d d x ( 4 x 2 )

3 y 2 y ' - 8 y y ' = 8 x

Reescrevendo:

y ' 3 y 2 - 8 y = 8 x

y ' = d y d x = 8 x 3 y 2 - 8 y

Resposta

d y d x = 8 x 3 y 2 - 8 y

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