Nos exercícios de 17 a 24, ache dy .

y = (2 + cosx) / (2 - senx)

Passo 1

Essa questão é bem simples, basta apenas que você lembre do teorema 4.9 . 3 , que diz:

d y = f ' ( x ) d x

Além disso, é conveniente denotar y = f ( x ) , ou seja:

f x = 2 + c o s x 2 - s e n x

Passo 2

Observe que f ( x ) é dado pela razão de duas funções. Como derivamos uma função que é quociente de duas outras? Simples, basta usar a regra do quociente, que diz:

d u v d x = u ' v - u v ' v 2

Faça então u = 2 + c o s x e v = 2 - s e n x .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:

u ' = 2 + c o s x ' = - s e n x

v ' = 2 - s e n x ' = - c o s x

Do que temos:

u ' v - u v ' = - s e n x 2 - s e n x - 2 + c o s x - c o s x = - 2 s e n x + s e n 2 x + 2 c o s x + cos 2 ⁡ x = 2 c o s x - s e n x + 1

Passo 4

Por fim:

v 2 = 2 - s e n x 2

Do que resulta:

f ' x = 2 c o s x - s e n x + 1 2 - s e n x 2

Ou ainda, usando o teorema:

d y = 2 c o s x - s e n x + 1 2 - s e n x 2 d x

Resposta

d y = 2 c o s x - s e n x + 1 2 - s e n x 2 d x

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