Enunciado

Nos exercícios de 17 a 24, ache d y .

y = (2 + c o s x)/(2 - s e n x)

Passo 1

Essa questão é bem simples, basta apenas que você lembre do teorema 4.9 . 3 , que diz:

d y = f ' ( x ) d x

Além disso, é conveniente denotar y = f ( x ) , ou seja:

f (x) = (2 + c o s x)/(2 - s e n x)

Passo 2

Observe que f ( x ) é dado pela razão de duas funções. Como derivamos uma função que é quociente de duas outras? Simples, basta usar a regra do quociente, que diz:

(d ((u)/(v)))/(d x) = (u^' v - u v^')/(v^2)

Faça então u = 2 + c o s x e v = 2 - s e n x .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:

u^' = (2 + c o s x)^' = - s e n x

v^' = (2 - s e n x)^' = - c o s x

Do que temos:

u^' v - u v^' = (- s e n x) (2 - s e n x) - (2 + c o s x) (- c o s x) = - 2 s e n x + s e n^2 x + 2 c o s x + cos^2 x = 2 (c o s x - s e n x) + 1

Passo 4

Por fim:

v^2 = (2 - s e n x)^2

Do que resulta:

f^' (x) = (2 (c o s x - s e n x) + 1)/((2 - s e n x)^2)

Ou ainda, usando o teorema:

d y = [(2 (c o s x - s e n x) + 1)/((2 - s e n x)^2)] d x

Resposta

d y = [(2 (c o s x - s e n x) + 1)/((2 - s e n x)^2)] d x

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