Nos Exercícios de 1 a 10, prove a identidade.

9) cosh(3x) = 4cosh^3 x - 3.cosh(x)

Passo 1

Podemos manipular a equação para:

cos h  ⁡ 3 x = c o s h   ( 2 x + x )

Para provar a identidade precisamos lembrar que:

c o s h   x + y = c o s h   x . cosh ⁡ y + s en h ⁡ x . s e n h   y

Então:

c o s h   2 x + x = c o s h   2 x . cosh ⁡ x + s en h ⁡ 2 x . s e n h   x

Pela identidade (13) e (15):

s e n h   2 x = 2 . s e n h   x . cosh ⁡ x

cosh ⁡   ( 2 x ) = 2 . c o s h ²   x - 1

c o s h   2 x + x = ( 2 . c o s h ²   x - 1 ) . cosh ⁡ x + ( 2 . s e n h   x . cosh ⁡ x ) . s e n h   x

c o s h   2 x + x = 2 . c o s h ³   x - cosh ⁡ x + 2 . s e n h ²   x . cosh ⁡ x

c o s h   2 x + x = 2 . c o s h   x ( c o s h 2 x + s e n h 2 x ) - cosh ⁡ x

Aplicando a identidade (6):

cosh ² ⁡ x - 1 = s e n h ²   x

c o s h   2 x + x = 2 . c o s h   x ( c o s h 2 x + cosh ² ⁡ x - 1 ) - cosh ⁡ x

c o s h   2 x + x = 2 . c o s h   x ( 2 c o s h 2 x - 1 ) - cosh ⁡ x

c o s h   2 x + x = 4 c o s h 3 x - 2 . c o s h   x - cosh ⁡ x

c o s h   2 x + x = 4 c o s h 3 x - 3 . c o s h   x

Concluindo:

cosh  ⁡ 3 x = 4 c o s h ³   x - 3 . cosh ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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