Enunciado

Nos exercícios de 1 a 8, ache a inclinação da reta tangente à curva dada no ponto, cujo valor de θ é o indicado. Faça também um esboço do gráfico e da reta tangente.

4. r = 2 + 2 s e n θ ;   θ = π 4

Passo 1

O enunciado nos pede a inclinação da reta tangente, precisaremos então usar a seguinte equação:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Onde t g α é a inclinação da reta.

Passo 2

Bom primeiro vamos obter o valor dos termos d r d θ , que se trata da derivada da função r com relação a θ :

d r d θ = 2 c o s θ

E então substituir na equação da inclinação:

t g α = 2 t g θ c o s θ + r 2 c o s θ - r t g θ

Passo 3

Agora basta substituir o valor de θ dado no enunciado, na função r:

r = 2 + 2 s e n π 4 = 2 + 2

E substituir θ e r na equação da inclinação:

t g α = 2 t g π 4 c o s π 4 + 2 + 2 2 c o s π 4 - 2 + 2 t g π 4

A inclinação será:

t g α = - 1 - 2

Passo 4

O gráfico da reta tangente então será:

Resposta

t g α = - 1 - 2

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