Enunciado

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Nos exercícios de 1 a 8, ache a inclinação da reta tangente à curva dada no ponto, cujo valor de θ é o indicado. Faça também um esboço do gráfico e da reta tangente.

7. r = 3 c o s 2 θ ;   θ = 2 π 3

Passo 1

O enunciado nos pede a inclinação da reta tangente, precisaremos então usar a seguinte equação:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Onde t g α é a inclinação da reta.

Passo 2

Bom primeiro vamos obter o valor dos termos d r d θ , que se trata da derivada da função r com relação a θ :

d r d θ = - 6 s e n 2 θ

E então substituir na equação da inclinação:

t g α = - 6 t g θ s e n 2 θ + r - 6 s e n 2 θ - r t g θ

Passo 3

Agora basta substituir o valor de θ dado no enunciado, na função r:

r = 3 c o s 4 π 3 = - 3 2

E substituir θ e r na equação da inclinação:

t g α = - 6 t g 2 π 3 s e n 4 π 3 - 3 2 - 6 s e n 4 π 3 + 3 2 t g 2 π 3

A inclinação será:

t g α = - 7 3 3

Passo 4

O gráfico da reta tangente então será:

Resposta

t g α = - 7 3 3

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