Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite

lim s → 2 - ⁡ 1 s - 2 - 3 s 2 - 4

Passo 1

Olá seus lindxs, como estão? Bora mais uma questão?

Bom, aqui temos que encontrar o limite dessa expressão com o nosso s tendendo a 2 lateralmente, apenas pelos valores menores que o 2, ou seja, tá tendendo a 2 pela esquerda.

Primeiro passo é sempre o mesmo, tentar substituir o valor s e ver no que dá:

lim s → 2 - ⁡ 1 s - 2 - 3 s 2 - 4 = 1 2 - 2 - 3 2 2 - 4 =

= 1 0 - 3 0 = ∞ - ∞

Eita, deu ruim aí né... Infinito menos infinito não parece ser uma boa resposta :/

Bom, então vamos tentar dar uma mexida nessa expressão. Olhando bem, dá pra ver que temos um produto notável ali no denominador da fração da direita.... Vamos nessa!

Passo 2

Olhando para a nossa expressão, nós temos:

1 s - 2 - 3 s 2 - 4

Beleza... Ali na fração da direita, no denominador, temos aquele produto notável com o quadrado de um número menos o quadrado de outro número... vamos abri-lo:

1 s - 2 - 3 s + 2 s - 2

Tá ficando melhor. Agora eu tenho até dois termos iguais, um em cada denominador das frações. Já que tá moleza assim, vamos fazer esse MMC e essa subtração!

1 s - 2 - 3 s + 2 s - 2 = 1 s + 2 - 3 1 ( s + 2 ) ( s - 2 )

Ajeitando...

s - 1 s + 2 s - 2

Agora temos um termo só na nossa expressão, me parece que conseguimos sair daquela indeterminação... vamos substituir o valor do nosso limite e ver no que dá:

lim s → 2 - ⁡ 1 s - 2 - 3 s 2 - 4 = lim s → 2 - ⁡ s - 1 s + 2 s - 2 = 2 - 1 2 + 2 2 - 2 = 1 4 ⋅ 0 = 1 0

Opaaaa! Caímos em um valor com 0 no denominador, sabemos que isso vai dar em infinito, agora só precisamos saber se é o infinito positivo ou o negativo ( + ∞ ou - ∞ ).

Vambora para análise de sinais!

Passo 3

Nossa expressão é essa aqui:

s - 1 s + 2 s - 2

Começando por quem tá por cima, pelo nosso numerador. O que acontece com ele quando s tende a 2 por valores menores que 2, ou seja, pela esquerda:

s = 1 → 1 - 1 = 0

s = 1,9 → 1,9 - 1 = 0,9

s = 1,99 → 1,99 - 1 → 0,99

Aparentemente esse numerador aí tende a 1 e sempre com valores positivos.

Agora vamos olhar o que tá por baixo, nosso denominador. O que acontece com ele quando s tende a 2 pela esquerda:

s = 1 → 1 + 2 1 - 2 = 3 ⋅ - 1 = - 3

s = 1,9 → 1,9 + 2 1,9 - 2 = 3,9 ⋅ - 0,1 = - 0,39

s = 1,9 → 1,99 + 2 1,99 - 2 = 3,99 ⋅ - 0,01 = - 0,0399

E esse nosso denominador aí, tá tendendo a 0 e sempre com valores negativos.

Analisando esse rolê todo que rolou: temos que o numerador será positivo e o denominador será negativo... logo o nosso limite vai ser um valor negativo, beleza!!

Agora é só fechar tudão...

Passo 4

Sabemos que:

lim s → 2 - ⁡ 1 s - 2 - 3 s 2 - 4 = lim s → 2 - ⁡ s - 1 s + 2 s - 2 = 1 0

E nosso limite vai para infinito, pois teremos um zero no nosso denominador.

Com a análise, vimos que esse limite vai dar num número negativo, com isso podemos afirmar que nosso limite vai para - ∞ .

lim s → 2 - ⁡ 1 s - 2 - 3 s 2 - 4 = - ∞

Resposta

lim s → 2 - ⁡ 1 s - 2 - 3 s 2 - 4 = - ∞

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