Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2

Passo 1

Fala galeres, beleza?

Aqui nós temos que encontrar o limite dessa expressão com o nosso x tendendo a 0 lateralmente, apenas pelos valores maiores do que 0, ou seja, tá tendendo a 0 pela direita.

Vamos começar com o de sempre, jogando o valor do x e ver no que vai dar:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2 = 1 0 - 1 0 = ∞ - ∞

E como era de se esperar, deu ruim haha... Vamos tentar mexer nessa expressão então... Aqui eu não encontrei nenhum produto notável, mas talvez fazer o MMC desse cara e realizar a subtração já ajude.

Passo 2

A nossa expressão é

1 x - 1 x 2

Realizando essa subtração, teremos:

1 x - 1 x 2 = x - 1 x 2

Certo? Foi só encontrar o MMC que deu x 2 e depois fazer os paranauês de subtração de frações...

Agora, vamos ver o que acontece se a gente substituir o valor do limite.

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2 = lim x → 0 + ⁡ x - 1 x 2 = - 1 0

Beleza... sabemos que esse negócio aí vai para infinito, mas precisamos saber qual infinito.

Fazendo uma análise rápida de sinal.

Passo 3

Olhando para a nossa expressão, temos:

x - 1 x 2

O nosso denominador é um valor elevado ao quadrado! Independente de qual número a gente coloque ali, esse cara vai ser positivo, né!

Vamos olhar isso, substituindo os valores de x tendendo a zero pela direita!

x = 1 → 1 2 = 1

x = 0,1 → 0,1 2 = 0 , 0 1

x = 0,01 → 0,01 2 = 0,0 00 1

E com nosso numerador, o que vai rolar... Substituindo os valores de x tendendo a zero pela direita, teremos...

x = 1 → 1 - 1 = 0

x = 0,1 → 0,1 - 1 = - 0,9

x = 0,01 → 0,01 - 1 = - 0,99

Esse numerador aí, quando tendendo a 0 pela direita, vai assumir valores negativos.

Como nosso numerador é negativo e nosso denominador é positivo, temos que nossa expressão vai assumir um valor negativo, certo?

Fechamos nossa análise!

Passo 4

Sabemos que:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2 = lim x → 0 + ⁡ x - 1 x 2

E nosso limite vai para infinito, pois teremos um zero no nosso denominador.

Com a análise vimos que esse limite vai dar num número negativo, com isso podemos afirmar que nosso limite vai para - ∞ .

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2 = lim x → 0 + ⁡ x - 1 x 2 = - ∞

Aaaaah, a felicidade no olhar de quem fechou mais uma questão de limite lateral

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2 = - ∞

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