Enunciado

Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite

underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x) - (1)/(x^2))

Passo 1

Fala galeres, beleza?

Aqui nós temos que encontrar o limite dessa expressão com o nosso x tendendo a 0 lateralmente, apenas pelos valores maiores do que 0, ou seja, tá tendendo a 0 pela direita.

Vamos começar com o de sempre, jogando o valor do x e ver no que vai dar:

underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x) - (1)/(x^2)) = (1)/(0) - (1)/(0) = oo - oo

E como era de se esperar, deu ruim haha... Vamos tentar mexer nessa expressão então... Aqui eu não encontrei nenhum produto notável, mas talvez fazer o MMC desse cara e realizar a subtração já ajude.

Passo 2

A nossa expressão é

(1)/(x) - (1)/(x^2)

Realizando essa subtração, teremos:

(1)/(x) - (1)/(x^2) = (x - 1)/(x^2)

Certo? Foi só encontrar o MMC que deu x^2 e depois fazer os paranauês de subtração de frações...

Agora, vamos ver o que acontece se a gente substituir o valor do limite.

underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x) - (1)/(x^2)) = underset(x -> 0^+)(lim) (x - 1)/(x^2) = - (1)/(0)

Beleza... sabemos que esse negócio aí vai para infinito, mas precisamos saber qual infinito.

Fazendo uma análise rápida de sinal.

Passo 3

Olhando para a nossa expressão, temos:

(x - 1)/(x^2)

O nosso denominador é um valor elevado ao quadrado! Independente de qual número a gente coloque ali, esse cara vai ser positivo, né!

Vamos olhar isso, substituindo os valores de x tendendo a zero pela direita!

x = 1 -> 1^2 = 1

x = 0,1 -> 0,1^2 = 0 , 0 1

x = 0,01 -> 0,01^2 = 0,0 00 1

E com nosso numerador, o que vai rolar... Substituindo os valores de x tendendo a zero pela direita, teremos...

x = 1 -> 1 - 1 = 0

x = 0,1 -> 0,1 - 1 = - 0,9

x = 0,01 -> 0,01 - 1 = - 0,99

Esse numerador aí, quando tendendo a 0 pela direita, vai assumir valores negativos.

Como nosso numerador é negativo e nosso denominador é positivo, temos que nossa expressão vai assumir um valor negativo, certo?

Fechamos nossa análise!

Passo 4

Sabemos que:

underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x) - (1)/(x^2)) = underset(x -> 0^+)(lim) (x - 1)/(x^2)

E nosso limite vai para infinito, pois teremos um zero no nosso denominador.

Com a análise vimos que esse limite vai dar num número negativo, com isso podemos afirmar que nosso limite vai para - oo .

underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x) - (1)/(x^2)) = underset(x -> 0^+)(lim) (x - 1)/(x^2) = - oo

Aaaaah, a felicidade no olhar de quem fechou mais uma questão de limite lateral

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x) - (1)/(x^2)) = - oo

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underset(t - - (1)/(2))(lim) sqrt(8 t^3 + 6)
Prove o Teorema 2.9.1, se a0 .
Prove o Teorema 2.6.5 para o caso em que a é negativo ou nulo e n é ímpar.
Calcule o limite e, quando aplicável, indique o teorema de limite usado. lim z → - 3 ⁡ z 2 - 9 z + 3
Ache o limite, se existir.underset(x - 3)(lim) f (x) se f (x) = {[[x^2 - 1 s e x = 3],[x + 5 s e 3x]])