Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x - 1

Passo 1

Agora vamos substituir x = 1 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = ln ⁡ 1 ln ⁡ 0

Fazendo as contas:

L = 0 × - ∞

Como caímos numa indeterminação, vamos reescrever nosso limite!

L = lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x - 1

Passando o ln ⁡ x para baixo:

L = lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x - 1 1 ln ⁡ x

Repare que agora caímos numa indeterminação do tipo - ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L = lim x → 1 ⁡   ln ⁡ x - 1 ln ⁡ x - 1

Agora vamos aplicar a regra de L’Hospital tomando cuidado com a regra da cadeia.

L = lim x → 1 ⁡   1 x - 1 - 1 × ln ⁡ x - 2 × ln ⁡ x '

Assim,

L = lim x → 1 ⁡   1 x - 1 - 1 × ln ⁡ x - 2 × 1 x

Organizando a expressão:

L = lim x → 1 ⁡ - x ln 2 ⁡ x x - 1

Se fizermos x = 1 :

L = 0 0

Eita, caímos novamente numa indeterminação. Então vamos aplicar a regra de L’Hospital novamente!

Passo 3

Derivando novamente:

L = lim x → 1 ⁡ - x ln 2 ⁡ x ' 1

Pela regra do produto:

L = lim x → 1 ⁡ - ln 2 ⁡ x + x × 2 ln ⁡ x × 1 x

Simplificando:

L = lim x → 1 ⁡ - ln 2 ⁡ x + 2 ln ⁡ x

Pra finalizar, basta fazermos x = 1 . Assim,

L = - ln 2 ⁡ 1 + 2 ln ⁡ 1

Portanto,

L = 0

Resposta

L = 0

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