Enunciado

Nos Exercícios 1-14, determine se as séries alternadas convergem ou divergem. Algumas das séries não satisfazem as condições do teste da série alternada.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 1 ln ⁡ n  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

u n = 1 ln ⁡ n

Veja que a sequência u n é positiva para todo n. Como ln é uma função crescente a sequência u n é decrescente, uma vez que o denominador aumenta e o numerador é constante.

Assim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n = 0

uma vez que o denominador cresce estritamente e o numerador é constante.

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste de Leibniz.

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ s en ⁡ ( n π / 2 ) n !
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n (n)/(n^2 + 2)
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 2)^(oo) ((- 1)^(n + 1))/(n ln n)
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) (n^2 2^(n - 1))/((- 5)^n)
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n 2^((1)/(n))