Enunciado

Nos Exercícios 1-14, determine se as séries alternadas convergem ou divergem. Algumas das séries não satisfazem as condições do teste da série alternada.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ln ⁡ n n  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

u n = ln ⁡ n n

Veja que a sequência u n é positiva para todo n. Temos que ln é uma função crescente, porém a sequência u n é decrescente, uma vez que o denominador aumenta estritamente mais rápido que o numerador. Para n ≥ 3 a sequência começa a decrescer.

Assim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ ln ⁡ n n = lim n →  ∞ ⁡ 1 n 1 = lim n →  ∞ ⁡ 1 n =   0

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste de Leibniz.

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