Enunciado

Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.

31. ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para esse caso, vamos considerar o teste da integral, pensa o seguinte, considerando a seguinte série,

∑ n = k ∞ f n

Onde k é qualquer número inteiro, esta série só irá convergir caso a seguinte integral também seja convergente

∫ k ∞ f x   d x

Claro, como via de regra, f ( x ) é não negativa no intervalo [ k , ∞ ) e f ( x ) é uma função monotonicamente decrescente no intervalo [ k , ∞ ) .

Passo 2

A série dada irá convergir se e somente se a seguinte integral convergir.

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 3   d x

Substituindo ln ⁡ x = u e d x x = d u , os limites de integração irão mudar

∫ 1 ∞ d u e u 2 = ∫ 0 ∞ e - 2 u   d u

Portanto, temos o seguinte resultado

∫ 0 ∞ e - 2 u   d u = e - 2 u - 2 0 ∞ = e - ∞ - 2 - e 0 - 2 = 0 + 1 2

Portanto, a série dada converge por teste da integral. Como todos os termos da série são positivos, a série absoluta é igual à série descrita no problema. Portanto, podemos dizer que a série converge absolutamente

Resposta

Converge absolutamente!

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