Enunciado

Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

9. a n = n + ln ⁡ n n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos escrever o enésimo termo a n dividindo a fração em duas frações:

a n = n n + ln ⁡ n n = 1 + ln ⁡ n n

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n   ( 1 )

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a .

Passo 2

Observe como a convergência de a n ​ depende da expressão ln ⁡ n n porque 1 é permanentemente fixo, não importa o número que você considere para n .

Para concluir o que acontece com ln ⁡ n n quando n tende ao infinito, vamos relembrar a teoria de que n cresce muito mais rápido que ln ⁡ n . Portanto, ln ⁡ n n ​ vai para 0 quando n vai para o infinito. Poderíamos ter chegado a essa conclusão usando o limite que aparece frequentemente:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = 0

Desde que

lim n → ∞ ⁡ 1 = 1

Então, de acordo com a Regra da Soma para limites, vale:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 + ln ⁡ n n = lim n → ∞ ⁡ 1 + lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = 1 + 0 = 1

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 + ln ⁡ n n = 1

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