Enunciado

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 + n

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

u n = 1 1 + n

que é positiva para todo n, vamos definir a função f n = u n e encontrar sua derivada:

f ' n = 1 1 + n ' =   =   - 1 2 n ( 1 + n )

Como a derivada é negativa para todo valor de n, temos que a sequência u n é decrescente.

Por fim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 1 1 + n = 0

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Entretanto, a série não converge absolutamente, pois por comparação, como 1 1 + n ≤ 1 n e sabemos que a série ∑ 1 n é uma p-série divergente, logo então ∑ 1 1 + n diverge. Logo, a série converge condicionalmente

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge condicionalmente.

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