Enunciado

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 1  

Passo 1

Verificando se ela e absolutamente convergente. Considerando as series:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 1   = ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1

∑ n = 1 ∞ 1 n

Colocando a n = n n 2 + 1 e b n = 1 n , vamos usar o teste de comparação no limite:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = l i m n → ∞ n 2 n 2 + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n 2 = 1  

Como o limite e um numero real e a segunda serie, a serie harmônica, converge, temos que a serie com o modulo diverge. Portanto, ela não converge absolutamente.

Passo 2

Verificando se ela converge:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 1  

Colocando b n = n n 2 + 1 .

Temos que lim n → ∞ ⁡ b n =   l i m n → ∞ n n 2 + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 + 1 n 2 = 0 .

Com a função auxiliar f x = x x 2 + 1 vamos verificar se b n e decrescente. Primeiro, derivando a função, usando a regra do quociente:

f ' x = x 2 + 1 - x . 2 x x 2 + 1 2 = - x 2 + 1 x 2 + 1 2

Se x ≥ 1 , temos que f ' x ≤ 0 . Considerando o domínio [ 0 ; + ∞ [   , temos que a função e descrescente. Portanto, a sequencia b n também sera decrescente.

Podemos concluir então, pelo teste da serie alternada, que a serie do enunciado converge, portanto, ela e condicionalmente convergente.

Resposta

A serie e condicionalmente convergente.

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