Enunciado

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n n - ln ⁡ n  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dada por:

u n = ln ⁡ n n - ln ⁡ n

Tal sequência é positiva para todo n, vamos definir a função f n = a n e encontrar sua derivada:

f ' n = ln ⁡ n n - ln ⁡ n '   =   1 - ln ⁡ n n - ln ⁡ n 2

Como a derivada é negativa para todo valor de n, temos que a sequência a n é decrescente.

Por fim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ ln ⁡ n n - ln ⁡ n = lim n →  ∞ ⁡ 1 n 1 - 1 n = 0 1 - 0 = 0

Como a sequência a n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Por comparação, sabemos que:

ln ⁡ n n - ln ⁡ n >   1 n - ln ⁡ n >   1 n

Sabemos ainda que ∑ 1 n é uma p-série divergente e séries maiores que uma série divergente também divergem. Sendo assim, a série é condicionalmente convergente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Condicionalmente convergente.

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ e - n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. 1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 4 + 1 ln ⁡ 5 - 1 ln ⁡ 6 + 1 ln ⁡ 7 + …
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ⋅ n e - n
Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada? ∑ n = 1 ∞ - 1 3 n n ( e r r o0,0005 )
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n + 1