Enunciado

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n t g - 1 n n 2 + 1  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dada por:

u n = t g - 1 n n 2 + 1

Veja que a sequência u n é positiva para todo n. Temos que t g - 1 n é uma função limitada a π 2 , enquanto o denominador aumenta indefinidamente. Portanto a sequência u n é decrescente.

Assim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ t g - 1 n n 2 + 1 = l i m n →   ∞ t g - 1 n l i m n →   ∞ ( n 2 + 1 ) = π 2 ∞ = 0

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Para verificar se ela converge absolutamente vamos aplicar o teste da integral imprópria:

∫ 1 ∞ t g - 1 n n 2 + 1

Aplicando a substituição,

u =   t g - 1 n       ⟹ d u =   d n n 2 + 1

E mudando os limites de integração, obtemos:

∫ π 4 π 2 u   d u =   π 2 -   π 4 =   π 4

Como a integral converge, podemos dizer que a série converge absolutamente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Absolutamente convergente.

Exercícios de Livros Relacionados

2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. 2 3 - 2 5 + 2 7 - 2 9 + 2 11 - …
2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 a r c tan ⁡ ( n )
2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 e 1 n n
2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 n + 3
2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 e 2 n