Enunciado

Se uma função composta f ∘ g é injetora, g deve ser injetora?

Passo 1

E aí? Beleza?

Seguinte, essa questão não é difícil e eu vou te mostrar como faz. Se liga no seguinte: você tem que lembrar o que é função composta e função injetora, e é pra isso que eu estou aqui!

Função composta: se você tem duas funções   f   e g , a f   ∘ g ( f composta com g ) é a mesma coisa que f ( g ( x ) ) , ou seja, onde tiver x , em f , eu jogo a g . E a mesma coisa é o contrário: g ∘ f   =   g ( f ( x ) ) .

Função injetora: são todas aquelas funções que não têm dois x distintos levando no mesmo y , ou seja, x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) .

Agora vamos começar!

Passo 2

Pra gente fazer isso, vamos fazer o seguinte:

1) Escolher uma f ∘ g   injetora.

2) Testar uma f não injetora e uma g   injetora pra ver se dá certo.

3) Testar uma f injetora e uma g não injetora pra ver se dá certo.

Fazendo o passo-a-passo…

1) Vamos escolher f o g ( x ) = 25 x , por exemplo

2) Agora, vou arbitrar f ( x ) = x 2 e g ( x ) = 5 x

Fazendo a composta f o g ( x ) = f ( g ( x ) ) = ( 5 x ) 2 = 25 x

Ou seja, basta que a g seja injetora.

3) E se fosse diferente? E se f ( x ) = 25 x   (injetora) e g ( x ) = x 2

A composta f o g ( x ) = f ( g ( x ) ) = 25 x 2 = 25 x . Não se engane, não dá 25 x . Repare que f o g ( x ) = 25 x não é uma função injetora, porque, por exemplo, -2 e 2 levam em 50. Então, apenas f ser injetora não é suficiente.

Dessa forma, se f o g ( x ) é injetora, basta que g seja injetora.

Resposta

Sim, g   deve ser injetora

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