Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

ƒ(x, y) = cos^2(3x - y^2)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x cos 2 ⁡ 3 x - y 2

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = cos  ⁡ 3 x - y 2 ,

= ∂ ∂ u u 2 ⋅ ∂ ∂ x cos ⁡ 3 x - y 2

Abrindo outra regra da cadeia, v = 3 x - y 2

∂ ∂ x cos ⁡ 3 x - y 2 = ∂ ∂ v cos ⁡ v ⋅ ∂ ∂ x 3 x - y 2

∂ ∂ x cos ⁡ 3 x - y 2 = - sen ⁡ v ⋅ 3

∂ ∂ x cos ⁡ 3 x - y 2 = - 3 sen ⁡ ( 3 x - y 2 )

Agora podemos retomar em u,

= 2 u ⋅ - 3 sen ⁡ 3 x - y 2

= 2 cos ⁡ 3 x - y 2 ⋅ - 3 sen ⁡ 3 x - y 2

Das relações trigonométricas, sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

= - 3 sen ⁡ 2 3 x - y 2

∂ f ∂ x = - 3 sen ⁡ 6 x - 2 y 2

Passo 2

Agora em y,

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y cos 2 ⁡ 3 x - y 2

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = s e n   3 x - y 2 ,

= ∂ ∂ u u 2 ⋅ ∂ ∂ y sen ⁡ 3 x - y 2

Abrindo outra regra da cadeia, v = 3 x - y 2

∂ ∂ y cos ⁡ 3 x - y 2 = ∂ ∂ v cos ⁡ v ⋅ ∂ ∂ y 3 x - y 2

∂ ∂ y sen ⁡ 3 x - y 2 = - sen ⁡ v ⋅ ( - 2 y )

∂ ∂ y cos ⁡ 3 x - y 2 = 2 y sen ⁡ ( 3 x - y 2 )

Agora podemos retomar em u,

= 2 u ⋅ 2 y cos ⁡ 3 x - y 2

= 2 y 2 sen ⁡ 3 x - y 2 ⋅ cos ⁡ 3 x - y 2

Das relações trigonométricas, sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

= 2 y sen ⁡ 2 3 x - y 2

∂ f ∂ y = 2 y sen ⁡ 6 x - 2 y 2

Bora pro próximo.

Resposta

∂ f ∂ x = - 3 sen ⁡ 6 x - 2 y 2 e ∂ f ∂ y = 2 y sen ⁡ 6 x - 2 y 2 .

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