Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

ƒ(x, y) = sen^2(x - 3y)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x sen 2 ⁡ x - 3 y

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = s e n   x - 3 y ,

= ∂ ∂ u u 2 ⋅ ∂ ∂ x sen ⁡ x - 3 y

Abrindo outra regra da cadeia, v = x - 3 y

∂ ∂ x sen ⁡ x - 3 y = ∂ ∂ v sen ⁡ v ⋅ ∂ ∂ x x - 3 y

∂ ∂ x sen ⁡ x - 3 y = cos ⁡ v ⋅ 1

∂ ∂ x sen ⁡ x - 3 y = cos ⁡ ( x - 3 y )

Agora podemos retomar em u,

= 2 u ⋅ cos ⁡ ( x - 3 y )

= 2 sen ⁡ x - 3 y ⋅ cos ⁡ ( x - 3 y )

Das relações trigonométricas, sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

= sen ⁡ 2 x - 3 y

∂ f ∂ x = sen ⁡ 2 x - 6 y

Passo 2

Agora em y,

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y sen 2 ⁡ x - 3 y

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = s e n   x - 3 y ,

= ∂ ∂ u u 2 ⋅ ∂ ∂ y sen ⁡ x - 3 y

Abrindo outra regra da cadeia, v = x - 3 y

∂ ∂ y sen ⁡ x - 3 y = ∂ ∂ v sen ⁡ v ⋅ ∂ ∂ y x - 3 y

∂ ∂ y sen ⁡ x - 3 y = cos ⁡ v ⋅ ( - 3 )

∂ ∂ y sen ⁡ x - 3 y = - 3 cos ⁡ ( x - 3 y )

Agora podemos retomar em u,

= 2 u ⋅ - 3 cos ⁡ x - 3 y

= - 3 2 sen ⁡ x - 3 y ⋅ cos ⁡ x - 3 y

Das relações trigonométricas, sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

= - 3 sen ⁡ 2 x - 3 y

∂ f ∂ y = - 3 sen ⁡ 2 x - 6 y

Bora pro próximo.

Resposta

∂ f ∂ x = sen ⁡ 2 x - 6 y e ∂ f ∂ y = - 3 sen ⁡ 2 x - 6 y .

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