Enunciado

Nos Exercícios 13-26, encontre uma fórmula para o n -ésimo termo da sequência.

- 3 2 ,   - 1 6 , 1 12 , 3 20 , 5 30 ,   … (Inteiros diferindo por 2 divididos por produtos de inteiros consecutivos.)

Passo 1

Olá pessoal, estou feliz em te ver por aqui. Vem comigo!

Vamos relembrar que uma sequência é uma lista de números em uma ordem determinada:

a 1 ,   a 2 ,   a 3 ,   … , a n ,   …

As sequências podem ser descritas pelas regras que especificam seus termos, como:

Ou ainda podemos listar os termos:

a n = 1 , 2 ,   3 ,   … , n ,   …

b n = 1 , - 1 2 , 1 3 , - 1 4 ,   … , - 1 n + 1 ∙ 1 n ,   …

c n = 0 , 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,   … , n - 1 n ,   …

d n = 1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   … , - 1 n + 1 ,   …

Passo 2

Sendo assim, vamos lá para o nosso exercício, do enunciado temos a seguinte sequência:

- 3 2 ,   - 1 6 , 1 12 , 3 20 , 5 30 ,   …

De início podemos perceber que o numerador tem a seguinte forma:

( 1 - 4 ) ,   ( 2 - 3 ) ,   ( 3 - 2 ) ,   ( 4 - 1 ) ,   ( 5 - 0 ) ,   …

Do primeiro termo ( n = 1 ), podemos considerar:

n - 5 - n = 1 - 5 + 1 = - 3

Ou seja, no numerador temos o seguinte termo:

2 n - 5

No denominador, primeiramente temos:

  • 1 + 1 = 2
  • 2 + 1 = 3
  • 3 + 1 = 4
  • 4 + 1 = 5
  • 5 + 1 = 6

Ou seja, descobrimos que ( n + 1 ) . Se multiplicarmos esses valores pelos seus respectivos n :

  • 2 ∙ 1 = 2
  • 3 ∙ 2 = 6
  • 4 ∙ 3 = 12
  • 5 ∙ 4 = 20
  • 6 ∙ 5 = 30

Com isso, descobrimos que no denominador temos:

n ∙ ( n + 1 )

Sendo assim, a fórmula para o n -ésimo termo dessa sequência será:

a n =   2 n - 5 n ∙ ( n + 1 )

Considerando n ≥ 1 .

Espero ter conseguido ajudar, te espero em mais exercícios.

Resposta

a n =   2 n - 5 n ∙ ( n + 1 ) , n ≥ 1 .

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