Enunciado

Nos Exercícios 13-26, encontre uma fórmula para o n -ésimo termo da sequência.

A sequência 1 ,   - 1 4 , 1 9 ,   - 1 16 , 1 25 ,   … (Recíprocos dos quadrados dos inteiros positivos, com os sinais alternados.)

Passo 1

Olá pessoal, estou feliz em te ver por aqui. Vem comigo!

Vamos relembrar que uma sequência é uma lista de números em uma ordem determinada:

a 1 ,   a 2 ,   a 3 ,   … , a n ,   …

As sequências podem ser descritas pelas regras que especificam seus termos, como:

Ou ainda podemos listar os termos:

a n = 1 , 2 ,   3 ,   … , n ,   …

b n = 1 , - 1 2 , 1 3 , - 1 4 ,   … , - 1 n + 1 ∙ 1 n ,   …

c n = 0 , 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,   … , n - 1 n ,   …

d n = 1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   … , - 1 n + 1 ,   …

Passo 2

Sendo assim, vamos lá para o nosso exercício, do enunciado temos a seguinte sequência:

1 ,   - 1 4 , 1 9 ,   - 1 16 , 1 25 ,   …

Além disso, o enunciado nos dá a seguinte dica: “Recíprocos dos quadrados dos inteiros positivos, com os sinais alternados”. Então de início já sabemos o seguinte:

1 1 2 ,   1 2 2 ,   1 3 2 ,   1 4 2 ,   1 5 2 ,   … ,   1 n 2

Para o nosso segundo número ser negativo, precisamos multiplicar o valor por ( - 1 ) , mas para o primeiro valor ser positivo, esse ( - 1 ) precisa ser elevado por um número par:

- 1 2 1 2 ,   - 1 3 2 2 ,   - 1 4 3 2 ,   … ,   - 1 n + 1 n 2

Sendo assim, a fórmula para o n -ésimo termo dessa sequência será:

a n =   - 1 n + 1 n 2

Considerando n ≥ 1 .

Esse já acabou, mas vamos fazer mais exercício juntos?! Estou te aguardando, até já.

Resposta

a n =   - 1 n + 1 n 2 , n ≥ 1 .

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