Enunciado

Encontre pelo menos 10 somas parciais da série. Transforme em gráfico a sequência dos termos e a sequência das somas parciais no mesmo desenho. A série é convergente ou divergente? Se é convergente, encontre a soma. Se for divergente, explique o porquê.

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1

Passo 1

Vamos chamar de a n o termo dentro do somatório, beleza? Assim, temos:

a n = 1 n 2 + 1

Nos foi pedido pra calcular os oito primeiros termos desse somatório. Mãos a obra!

s 1 = a 1 = 1 1 2 + 1 = 0,5

s 2 = s 1 + a 2 = 0,5 + 1 2 2 + 1 = 0,7

s 3 = s 2 + a 3 = 0,7 + 1 3 2 + 1 = 0,8

s 4 = s 3 + a 4 = 0,8 + 1 4 2 + 1 ≈ 0,8588

s 5 = s 4 + a 5 = 0,8588 + 1 5 2 + 1 ≈ 0,8972

Metade do caminho! Vamo que vamo:

s 6 = s 5 + a 6 = 0,8972 + 1 6 2 + 1 ≈ 0,9243

s 7 = s 6 + a 7 = 0,9243 + 1 7 2 + 1 ≈ 0,9443

s 8 = s 7 + a 8 = 0,9443 + 1 8 2 + 1 ≈ 0,9596

s 9 = s 8 + a 9 = 0,9596 + 1 9 2 + 1 ≈ 0,9718

s 10 = s 9 + a 10 = 0,9718 + 1 10 2 + 1 ≈ 0,9817

Passo 2

Vamos olhar agora para o gráfico da série e dos termos!

Os pontos laranjas representam os termos da sequência e os azuis as somas parciais. Podemos ver aqui que a série parece convergir para zero e os termos convergem para 1 . Assim, respondendo à pergunta do enunciado, a série é convergente!

Resposta

A série é convergente!

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